1.2　典型题（含历年真题）详解

一、选择题

1．（　　）。[2013年真题]

A．e

B．1

C．

D．－ｅ

【答案】C

【解析】由于为连续函数，x＝０在函数的定义区间内，因此可直接将x＝0代入函数求极限，得。

2．（　　）。[2012年真题]

A．

B．1

C．2

D．不存在

【答案】A

【解析】由重要极限公式，得。

3．（　　）。

A．∞

B．e

C．1

D．0

【答案】C

【解析】利用等价无穷小，，。

4．（　　）。

A．0

B．

C．1

D．

【答案】A

【解析】当为有界函数，有界变量与无穷小之积为无穷小，故

。

5．设在x＝1连续，则a＝（　  ）。

A．2

B．1

C．1－e

D．2

【答案】B

【解析】函数f(x)为分段函数，且在x＝1处连续，故，

，因此a＝1。

6．＝（　　）。

A．e6

B．e3

C．e2

D．e

【答案】A

【解析】。

7．（　　）。

A．2

B． 

C．

D．

【答案】D

【解析】运用洛必达法则，可得。

8．函数的间断点是＝（　　）。

A．1

B．0

C．－1

D．2

【答案】C

【解析】函数的间断点为其分母等于0的点，即x＋1＝0，x＝－1。

二、填空题

1．＝______。[2013年真题]

【答案】2e

【解析】

2．______。[2012年真题]

【答案】0

【解析】

3．设函数在x＝0处连续，则a＝______。[2011年真题]

【答案】

【解析】由于f（x）在点x＝0处连续，故存在，且。

，所以，。

4．______。

【答案】

【解析】。

5．______。

【答案】e－3

【解析】。

6．______。

【答案】

【解析】所求极限的表达式为分式，分母的极限不为零，可将x＝3直接代入得，。

7．设，在x＝0连续，则k＝______。

【答案】2

【解析】，，在x＝0连续的必要条件是，故k＝2。

8．的间断点为______。

【答案】x＝－3

【解析】由于分母不能为零，故当x＋3＝0，即x＝－3为所给函数的间断点。

三、解答题

1．设函数，在x＝1处连续，求a。[2013年真题]

解：f(x)在x＝1处连续，有，得a＝2。

2．求。[2012年真题]

解：利用洛必达法则，得

3．求。[2011年真题]

解：时，

。

4．设函数，在x＝0处连续，求常数a的值。

解：f(x)在x＝0处连续，则，

故。

5．求。

解：利用等价无穷小代换，当x→0时，e x－1～x，sinx～x，可得

6．求。

解：