第8章　选　择

1．弗兰克·费雪的支出函数是，他对开玩笑的需求函数是，其中为价格向量，收入。证明：对弗兰克而言，当且仅当时，开玩笑为正常品。

Frank Fisher’s expenditure function is . His demand function for jokes is , where  is vector of prices and  is his income. Show that jokes are a normal good for Frank if and only if .

证明：恒等式两边关于求导得：

，由于收入的边际效应一定为正，故当且仅当时，，开玩笑为正常品。

2．计算两物品的柯布-道格拉斯需求函数的替代矩阵。验证对角线各项是负的，交叉价格效应是对称的。

Calculate the substitution matrix for the Cobb-Douglas demand system with two goods. Verify that the diagonal terms are negative and the cross-price effects are symmetric.

答：柯布-道格拉斯效用函数由下式给出：，在两边取对数，两种物品的需求函数可以通过解下式导出：

满足　 

将约束条件代入目标函数得到：

解出物品1的马歇尔需求为：

代入预算约束得出物品2的马歇尔需求为：

简化起见，令，，则两物品的柯布-道格拉斯需求函数可以写成：

由斯拉茨基方程：中可以得出替代效应：

将需求函数分别对、、求导，代入替代效应表达式中，即得出替代矩阵如下：

从上面表达式中可以看出，其对角线各项是正的，且交叉价格效应相等：

3．假设一个消费者具有线性需求函数。写出为得到货币度量的间接效用函数而需要求解的微分方程；如果可能，解此方程。

Suppose that a consumer has a linear demand function . Write down the differential equation you would need to solve to find the money metric utility function. If you can, solve this differential equation.

答：由支出函数的性质可以知道：

又因为：

这就意味着：

令，由上式可以得到：

令表示货币度量的效用函数，那么就有：

对于线性需求函数，微分方程为：

这是一阶线性微分方程，求解得到：

4．假设一个消费者具有一个半对数需求方程。写出为得到货币度量的效用函数而需要求解的微分方程。如果可能，请解此方程。

Suppose that a consumer has a semi-log demand function . Write down the differential equation you would need to solve to find the money metric utility function. If you can, solve this differential equatio.

答：根据上题的步骤可以得到：

相应的的微分方程为：

求解得：

积分得到：

利用约束条件得到：

5．某消费者，其效用函数为，其预算约束为。求出其需求束。

Find the demanded bundle for a consumer whose utility function is  and her budget constraint is

.

解：需求函数可由下式解出：

写出拉格朗日函数：

一阶条件为：

求解得：，。

6．利用效用函数，预算约束，计算，，和。

Use the utility function  and the budget constraint  to calculate

,,  and .

解：消费者的效用最大化问题为：

拉格朗日函数为：

一阶条件为：

由以上三式解得需求函数为：

将求得的需求函数代入效用函数即得出间接效用函数：

由于支出函数是间接效用函数的反函数，所以支出函数为：

由支出函数的性质：，所以希克斯需求函数为：

7．根据效用函数，计算，，和，并验证替代矩阵项是对称的。

Extend the Cobb-Douglas utility function to the case where

compute the terms ,,,and , and check the symmetry of the matrix of substitution terms.

解：支出最小化问题：

拉格朗日函数为：

一阶条件是：

用（2）式除以（1）式得：

联立（3）、（4）两式解得希克斯需求为：

因为：

故替代矩阵项是对称的。

将希克斯需求代入目标函数中，得到支出函数为：

由于间接效用函数是支出函数的反函数，所以得到间接效用函数为：

根据罗伊等式：

解得马歇尔需求为：

8．利用效用函数，重复6、7的练习，并证明如果用替换，前面的所有公式依然成立。

Repeat the previous using  and show that all the previous formula hold provided u is replaced by .

答：消费者的效用最大化问题为：

拉格朗日函数为：

一阶条件为：

由上面三式解得需求函数为：

将求得的需求函数代入效用函数即得出间接效用函数为：

由于支出函数是间接效用函数的反函数，所以支出函数为：

由支出函数的性质：，所以希克斯需求函数为：

消费者的支出最小化问题为：

拉格朗日函数为：

一阶条件是：

由以上三式解得：

下面来验证替代矩阵的对称性：

故替代项矩阵是对称的。将希克斯需求代入目标函数中，得到支出函数为：

由于间接效用函数是支出函数的反函数，所以得到间接效用函数为：

根据罗伊等式：

解得马歇尔需求为：

9．以代表偏好关系，计算支出函数、间接效用函数和需求。对于一个单调递增的函数，如果同样的偏好关系现在用来代表，证明：被代替，被代替，被代替。同时验证，马歇尔需求未受影响。

Preferences are represented by and a expenditure function, indirect utility function and demands are calculated. If the same preferences are now represented by  for a monotone increasing function , show that  is replaced by  , by , and  by . Also, check that the Marshallian demands  are unaffected.

证明：在不同的效用函数下，消费者的效用最大化问题为：

和

断言这两个问题的最优解相同。如果不是这样，那么，会存在某一其他选择，满足及。由于是单调递增函数，则对不等式两边进行变换，不等式仍成立，于是有

且，这违反了原假设：是在约束下最大化的需求。因此有

，马歇尔需求不变。（逆命题也成立——即当同样的预算约束在两种情形下都成立时，最大化的选择也最大化。）

根据支出函数的定义，以及上式的结果，有下式成立：

再次运用希克斯需求的定义及以上的结论，可得到如下等式成立：

该题得证。

10．考察戴维的两期效用模型，其中代表其在第一时期的消费，代表其在第二时期的消费。戴维在每一时期被给予的消费量是，但他也可以对现在和未来的消费进行交易，即把现在的消费卖给将来消费，反之亦然。因此，其预算约束为：

其中，分别为第一期和第二期的价格。

（a）推导此模型的斯拉茨基方程。（注意，现在戴维的收入取决于他被给予的消费量的价值，而此价值又取决于价格；。）

（b）假设戴维的最优选择满足。如果价格下降，戴维的处境会好转还是会恶化？

（c）什么是消费物品的回报率？

Consider a two-period model with Dave’s utility given by  where  represents his consumption during the first period and  is his second period’s consumption. Dave is endowed with  which he could consume in each period, but he could also trade present consumption for future consumption and vice versa. Thus, his budget constraint is

where  and  are the first and second period prices respectively.

（a）Derive the Slutsky equation in this model. （Note that now Dave’s income depends on the value of his endowment which, in turn, depends on prices: .）

（b）Assume that Dave’s optimal choice is such that . If  goes down, will Dave be better off or worse off? What if  goes down?

（c）What is the rate of return on the consumption good?

答：（a）对恒等式两边对求解得：

根据支出函数的定义有：

再运用包络定理，得到：

因此，有：

变形得到斯拉茨基方程为：

（b）戴维的境况在下降时会恶化。理由如下：跨期模型的消费者效用最大化问题为：

根据包络定理可知：

这里是收入效应，它是一个正数。由于，所以，所以下降时，消费者的效用会降低。

（c）消费物品的回报率为：。

11．考察一个对物品1和物品2有需求的消费者。当物品价格为时，其需求为。当价格为时，其需求为，若没有其他重要的变化，问该消费者是否最大化其效用？

Consider a consumer who is demanding goods 1 and 2. When the price of the goods are , he demands

. When the prices are , he demands . Nothing else of significance changed. Is this consumer maximizing utility?

答：消费者没有最大化其效用，因为他的需求行为违反了显示偏好“一般性公理”。当价格为时，他支出了10。在这些价格下他能够负担消费束，但他拒绝了它；所以，。当价格为时，他支出了15。在这些价格下他能够负担得起消费束，但拒绝了它，所以。两者相矛盾，因此消费者没有最大化自己的效用。

12．假定间接效用函数的形式为。问：支出函数是何种形式？效用函数和表示的间接补偿函数是何种形式？

Suppose that the indirect utility function takes the form. What is the form of the expenditure

function? What is the form of the indirect compensation function,  in terms of the functionand ?

答：由于支出函数是间接效用函数的反函数，因此，支出函数为：

间接补偿函数为：

因此用函数和表示的间接补偿函数是：

13．效用函数为。

（a）画出的无差异曲线，把的部分涂上阴影。

（b）当为何值时，唯一的最优解是？

（c）当为何值时，唯一的最优解是？

（d）如果，均不为0，且最优解是唯一的。那么，一定为何值？

The utility function is .

（a）Draw the indifference curve for .Shade the area where .

（b）For what values of  will the unique optimum be ?

（c）For what values of will the unique optimum be ?

（d）If neither  nor  is equal to zero, and the optimum is unique, what must be the value of ?

解：（a）画出直线和。无差异曲线如图8-1中阴影区域的边界所示。的部分如图8-1中阴影部分所示。

图8-1　不光滑的无差异曲线

（b）预算线的斜率为。当时，效用函数的方程为，该方程的斜率为-2。如果预算线斜率大于2，此时预算约束线与效用函数相交于轴，则。所以条件为。

（c）同理，如果预算线斜率小于，将等于0，所以条件是。

（d）如果最优值是唯一的，它必出现于直线和的相交处。这意味着，于是

，由图形可知。

14．在现行税制下，一个人可以每年在个人退休账户（I.R.A．）中储蓄2000美元。I.R.A.是一个有税收优惠待遇的储蓄工具。考察一个在特定时点具有收入的消费者，他愿意将部分用于消费，用于I.R.A.储蓄，用于普通储蓄。假设“简化型”效用函数的形式为：

（这是一个简化型效用函数，因为这些参数并不是真正外生性质的参数，而且还包括资产税处理等问题）。该消费者的预算约束为

该消费者可在I.R.A.中储蓄的限度以表示。

（a）推导一个限度不受约束的消费者对和的需求函数。

（b）推导一个限度存在约束的消费者对和的需求函数。

Under current tax law some individuals can save up to ＄2,000 a year in an Individual Retirement Account （I.R.A.）, a savings vehicle that has an especially favorable tax treatment. Consider an individual at a specific point in time who has income, which he or she wants to spend on consumption, , I.R.A. savings, , or ordinary savings

. Suppose that the "reduced form" utility function is taken to be:

（This is a reduced form since the parameters are not truly exogenous taste parameters, but also include the tax treatment of the assets; etc.） The budget constraint of the consumer is given by:

and the limit that he or she can contribute to the I.R.A. is denoted by .

（a）Derive the demand functions for  and  for a consumer for whom the limit  is not binding.

（b）Derive the demand function for  and  for a consumer for whom the limit  is binding.

答：（a）这是一个普通的柯布-道格拉斯效用函数，最大化效用为：

拉格朗日函数为：

一阶条件为：

根据效用最大化解得需求函数为：

（b）在这种情况下，，因此最大化效用为：

拉格朗日函数为：

一阶条件为：

根据效用最大化解得需求函数为：

15．一个效用最大化的消费者具有严格凹的且严格单调的偏好关系，他消费两个物品和，每个物品的价格均为1；他的消费不能为负，他每年具有收入，现期消费水平为，其中，。假设下一年他得到一笔捐赠，他必须将其全部用于物品1的支付。（如果他愿意，他可以拒绝接受这笔捐赠。）

（a）判断正误。如果物品1为正常品，则这笔捐赠对其消费的影响，一定与一笔不附条件的同样数量的一次性捐赠的影响相同。若正确，请证明；若错误，也请证明其是错误的。

（b）判断正误，如果上述消费者在全部收入时，物品1为低质品，如果得到一笔他必须用于物品1消费的捐赠，对其消费的影响一定与不附条件的同样数量的捐赠的影响相同。若正确，请证明；若错误，请说明如果有人给予该消费者这笔捐赠，他将如何处理。

（c）假设如果上面讨论的消费者具有相似偏好，现在消费的。画一个以为横轴，以物品1的数量为纵轴的图。用此图来说明，如果他的普通收入，如果他得到一笔必须用于物品1消费的捐赠，他对物品1的需求量。在为何水平时，此图具有一个拐点（kink）？（在回答此问题以前考虑一下，给出一个数量答案）

A utility-maximizing consumer has strictly convex, strictly monotonic preferences and consumes two goods,  and , each of which has a price of 1. He cannot consume negative amounts of either good. The consumer has an income of m every year. His current level of consumption is, where  and . Suppose that next year he will be given a grant of  which must be spent entirely on good 1. （If he wishes, he can refuse to accept the grant.）

（a）True or False? If good 1 is a normal good, then the effect of the grant on his consumption must be the same as the effect of an unconstrained lump sum grant of an equal amount. If this is true, prove it. If this is false, prove that it is false.

（b）True or False? If good 1 is an inferior good for the above consumer at all incomes , then if he is given a grant of  which must be spent on good 1, the effect must be the same as an unconstrained grant of an equal amount. If this is true, prove it. If this is false, show what he will do if he is given the grant.

（c）Suppose that the consumer discussed above has homothetic preferences and is currently consuming  and .  Draw a graph with  on the horizontal axis and the amount of good 1 on the vertical axis. Use this graph to show the amount of good 1 that the consumer will demand if his ordinary income is  and if he is given a grant of  which must be spent on good 1. At what level of  will this graph have a kink? （Think for a minute before you answer this. Give a numerical answer.）

答：（a）这个说法正确。理由如下：假设消费者得到的捐赠没有消费限制，那么由于商品1是正常品，所以它的需求，超过了捐赠的数量，因此在有捐赠限制的条件下，消费者会额外购买

数量的商品1，从而消费者的境况和没有限制时一样好。

（b）这个说法错误，理由如下：因为商品1是劣等品（当消费者的收入超过最初收入的时候），所以当消费者得到没有附加条件的捐赠后，其对商品1的消费量为。如果，那么当得到有附加条件的捐赠后，消费者至少要消费数量为的商品1，因此这两种情况对消费者的影响是不同的。

（c）由于消费者具有位似偏好，所以当收入变化时，每种商品的最优消费量会同比例增加，增加的倍数等于收入增加的倍数。这样如果消费者的收入为时，那么他对每种商品的需求就是：

可见，当，即时，消费者除了把所有的捐赠都拿来购买商品1以外，还会用自己的收入购买部分商品1；当，即时，消费者在当前情况下愿意消费的商品1的数量上限也不超过，所以在有捐赠限制的时候，他只能消费。综上可知，由图8-2可知，拐点出现在。

图8-2　捐赠和消费的关系