第五节　斯勒茨基方程

一、单项选择题

1．以下关于收入效应和替代效应的说法哪个是正确的？（　　）（中山大学2009研）

A．收入效应总是正的，替代效应总是负的

B．收入效应总是正的，替代效应可能是正的也可能是负的

C．替代效应总是负的，收入效应可能是正的也可能是负的

D．替代效应总是负的，收入效应总是负的

【答案】C

【解析】替代效应引起的需求变动方向总是与价格变动的方向相反；收入效应可能是正的也可能是负的，取决于考察的商品是正常商品还是低档商品。

2．对于正常商品而言，当价格上涨时（　　）。（中央财经大学2010研）

A．替代效应为负，收入效应为负

B．替代效应为负，收入效应为正

C．替代效应为正，收入效应为负

D．替代效应为正，收入效应为正

【答案】A

【解析】当正常商品价格上涨时，替代效应使得需求更多倾向于其替代品，则替代效应为负；商品价格上涨使得收入水平相对下降，正常商品的需求量下降，则收入效应为负。因此，对于正常商品而言，替代效应与价格成反方向的变动，收入效应也与价格成反方向的变动。

3．替代效应是由于以下哪个因素导致的对需求的增加？（　　）（中山大学2008研）

A．所有价格的变化

B．由于一个替代品的广告引起的口味的改变

C．发现了新的替代品

D．以上都不是

【答案】D

【解析】替代效应是指当一种商品价格发生变化时，由该商品的价格变动引起的商品的相对价格的变动，进而由商品的相对价格的变动引起的商品的需求量的变动。当一种商品价格降低时，相对其他商品来说该商品更加便宜，所以消费者会增加对该商品的消费，使需求增加。

4．下列哪种说法是对的？（　　）（上海财经大学2008研）

A．替代效应一定为负

B．Slutsky替代效应为正，希克斯替代效应为负

C．正常商品的替代效应为正，吉芬商品的替代效应为负

D．正常商品的替代效应为负，吉芬商品的替代效应为正

【答案】A

【解析】无论是正常商品还是低档商品或是吉芬商品，斯勒茨基分解后的替代效应都是负的，希克斯分解后的替代效应也是始终为负。

5．当价格变化时，为使消费者达到价格变化后的效用水平所需要的收入补偿被称为（　　）。（上海财经大学2008研）

A．补偿变换（Compensation Variation）

B．等价变换（Equivalent Variation）

C．消费者剩余的变化量

D．Slutsky收入补偿

【答案】B

【解析】收入的补偿变化是指使消费者回到他初始的无差异曲线上所必须的收入变化。收入的等价变化是指消费者为了避免价格变动而愿意付出的最大收入量。补偿变化是补偿消费者一定收入后消费者回到价格变化前的效用水平，而等价变化是指减少消费者一定收入后使消费者得到价格变化后的效用水平，两种对收入的变化后所达到的目标效用水平是不同的。

6．一个学生每月从父母那里得到500元的生活费。假如他对大米的需求函数为。如果大米的价格从每公斤4元涨到6元，为了保证他的生活水平不下降，他的生活费应从500元增加到（　　）元。（上海财经大学2006研）

A．506

B．508

C．510

D．512

【答案】D

【解析】为了保证他的生活水平不下降，那么，应该保证该学生的实物消费量不变。当大米的价格为4元时，该学生的大米需求量为，那么对大米的支出为元，对其他商品的支出为500－24=476元。当大米的价格涨到6元，且购买量仍为6时，对大米的支出变为36元，加上对其他商品的支出476元，该学生的总支出为512元。也就是说，为了保证他的生活水平不下降，他的生活费应从500元增加到512元。

7．当一种商品的价格上升时，需求的变化量与替代效应的关系为（　　）。（上海财经大学2006研）

A．前者比后者大

B．前者比后者小

C．前者与后者一样大

D．前者可能比后者大，也可能比后者小

【答案】D

【解析】由斯勒茨基恒等式可知，当替代效应和收入效应符号一致时，总效应（即价格变动引起的需求变化量）大于替代效应的变化量；当与符号不相同时，则两者的比较关系是不确定的。

二、简答题

1．作图说明低档商品的收入效应、替代效应和全部效应。（上海交通大学2003研）

答：低档商品是指需求量随着消费者收入水平的提高而减少，随着消费者收入水平的下降而增加的商品。下面通过图2-14来说明低档商品的收入效应、替代效应和全部效应。

图2-14  低档商品的收入效应、替代效应和全部效应

如图2-14所示，横轴和纵轴分别表示商品1和商品2的数量，其中商品1是低档商品。商品1的价格变化前的消费者的效用最大化的均衡点为点，下降以后的消费者均衡点为点，因此价格下降所引起的商品1的需求量的增加量为，这便是全部效应或总效应。通过做出与预算线平行且经过初始选择点的补偿预算线，便可将总效应分解为替代效应和收入效应。具体来看，下降引起的商品相对价格的变化，使消费者由均衡点运动到均衡点，相应的需求增加量为，这就是替代效应，它是一个正值。而下降引起的消费者的实际收入水平的变动，使消费者由均衡点运动到均衡点，需求量由减少到，这就是收入效应。其原因在于：价格下降所引起的消费者的实际收入的提高，会使消费者减少对低档商品1的需求量。

图2-14中的商品1的价格下降所引起的商品1的需求量的变化的全部效应为，它是正的替代效应

和负的收入效应之和。由于替代效应的绝对值大于收入效应的绝对值，所以效应是一个正值。

综上所述，对于低档商品来说，替代效应与价格成反方向的变动，收入效应与价格成同方向的变动，而且在大多数场合，收入效应的作用小于替代效应的作用，所以，全部效应与价格成反方向的变动，相应的需求曲线是向右下方倾斜的。

2．请画出吉芬商品在其价格下降时的收入效应、替代效应和总效应。（上海大学2002研；中山大学2005研）

答：吉芬商品是一种特殊的低档商品。作为低档商品，吉芬商品的替代效应与价格成反方向的变动，收入效应则与价格成同方向的变动。吉芬商品的特殊性就在于：它的收入效应的作用很大，以至于超过了替代效应的作用，从而使得总效应与价格成同方向的变动。这也就是吉芬商品的需求曲线呈现出向右上方倾斜的特殊形状的原因。

如图2-15所示，横轴和纵轴分别表示商品1和商品2的数量，其中，商品1是吉芬商品。商品1的价格下降前后的消费者的效用最大化的均衡点分别为点和点，相应的商品1的需求量的减少量为，这就是总效应。通过补偿预算线可得：为替代效应，它是一个正值；是收入效应，它是一个负值。而且，负的收入效应的绝对值大于正的替代效应的绝对值，所以，最后形成的总效应为负值。在图2-15中，点必定落在、两点之间。

图2-15  吉芬商品的替代效应和收入效应

3．利用替代效应与收入效应，作图说明低档商品与吉芬商品之间的相互联系。（上海交通大学2006研；中央财经大学2013研）

答：（1）低档商品的替代效应与收入效应

对于低档商品来说，替代效应与价格成反方向的变动，收入效应与价格成同方向的变动，而且，在大多数的场合，收入效应的作用小于替代效应的作用，所以，总效应与价格成反方向的变动，相应的需求曲线是向右下方倾斜的。

如图2-16所示，商品1是低档商品。初始最优选择点为点，商品1的价格下降，最终最优选择点为点。因此，价格下降所引起的商品1的需求量的增加量为，这便是总效应。通过作与预算线平行且经过初始选择点的补偿预算线，便可将总效应分解成替代效应和收入效应。其中，为替代效应，它与价格变动的方向相反；为收入效应，它与价格变动的方向相同。由于替代效应的绝对值大于收入效应的绝对值，或者说，由于替代效应的作用大于收入效应，所以，总效应是一个正值。

图2-16  低档商品的替代效应与收入效应

（2）吉芬商品的替代效应与收入效应

吉芬商品是一种特殊的低档商品。作为低档商品，吉芬商品的替代效应与价格成反方向变动，收入效应与价格成同方向变动。其特殊性在于：它的收入效应的作用大于替代效应的作用，从而总效应与价格成同方向的变动，这样使得吉芬商品的需求曲线向右上方倾斜。

如图2-17所示，商品1是吉芬商品。初始最优选择点为点，商品1的价格下降，最终最优选择点为点。因此，价格下降所引起的商品1的需求量的减少量为，这便是总效应。通过作与预算线平行且经过初始选择点的补偿预算线，便可将总效应分解成替代效应和收入效应。其中，为替代效应，它与价格变动的方向相反；为收入效应，它与价格变动的方向相同。由于收入效应的绝对值大于替代效应的绝对值，或者说，由于收入效应的作用大于替代效应，所以，总效应是一个负值。

图2-17  吉芬商品的替代效应和收入效应

（3）低档商品与吉芬商品之间的相互联系

通过作图可以看出低档商品与吉芬商品之间的相互联系，即吉芬商品是一种特殊的低档商品。吉芬商品的特殊性在于：它的收入效应的作用大于替代效应的作用，从而总效应与价格成同方向的变动。

4．斯勒茨基替代效应与希克斯替代效应的异同。（上海交通大学2004研；厦门大学2006、2008研）

答：斯勒茨基替代效应与希克斯替代效应是分别以两位经济学家斯勒茨基与希克斯的名字命名的。斯勒茨基替代效应是在商品相对价格变化后，在保持消费者实际收入不变（这里的实际收入不变是指消费者在价格变化后能够购买他想要购买的价格变动以前的商品购买量）情况下所引起的商品需求量的变化；希克斯替代效应是在商品相对价格变化后，在保持消费者实际收入不变（这里的实际收入不变是指使消费者在价格变化前后保持在同一条无差异曲线上）情况下所引起的商品需求量的变化。斯勒茨基替代效应与希克斯替代效应之间既有相同点，也有不同点。

（1）斯勒茨基替代效应与希克斯替代效应的相同点

斯勒茨基替代效应与希克斯替代效应的相同点主要体现在以下两个方面：①斯勒茨基替代效应与希克斯替代效应都是非正的，这可以用显示偏好理论证明；②对于无限小的价格变动来说，斯勒茨基替代效应与希克斯替代效应是相等的，即有：

（2）斯勒茨基替代效应与希克斯替代效应的不同点

希克斯分解与斯勒茨基分解的区别在于替代效应的不同——希克斯替代效应不是保持购买力不变而是保持效用不变（即在同一条无差异曲线上）。这在图形中的表现就是平行于价格变化后的预算线的辅助线的画法不同，希克斯分解中的那条辅助线是与原来的无差异曲线相切，而斯勒茨基分解中的辅助线是经过价格变化前的需求束。斯勒茨基替代效应与希克斯替代效应的不同点可借用图2-18予以说明。

图2-18  斯勒茨基替代效应与希克斯替代效应

三、计算题

1．小明在A城市的一家企业工作，每期的收入为12个单位，他每月主要消费两种产品和。他的效用函数为。A城市的两种产品，的价格分别是1和1，小明所在的企业往城市B发展，并设立分支机构。上司希望小明到城市B去上班，在城市B，两种产品，的价格分别为2和1。

（1）如果在两个城市，小明的收入相同，问在城市A和城市B对商品的需求变化是多少，其中有多少可以归结为替代效应，有多少归结为收入效应？

（2）小明从城市A到城市B工作，要保证他福利不变，需要对他的收入进行多少补偿？（上海财经大学2009研）

解：（1）由柯布-道格拉斯效用函数的性质可知，小明花在商品和花在商品上的钱是一样多的，即都为6单位。小明在城市A每月对商品的需求为6，在城市B每月对商品的需求为3。

当商品的价格变为2时，为了使原先的消费束仍能支付得起，则收入必须作出变动，即要使购买力保持不变，所需的收入水平为。由柯布-道格拉斯效用函数的性质可知，此时小明将消费4.5单位商品，9单位商品。所以，替代效应，收入效应。

（2）保证小明的效用水平不变，即要给予消费者足够多的货币补偿使他恰好能够回到原先的无差异曲线，从而保证福利不变，是希克斯收入效应中的收入补偿，所以按希克斯收入效应来计算。

原先效用水平。

两种产品，的价格分别为2和1时，由柯布-道格拉斯效用函数的性质可知，要保证福利不变，此时小明将消费单位商品，单位商品。

此时收入水平，可以求得需要补偿的收入为。

2．假设某个学生的月收入为元，他对面包的需求函数为，面包的价格为

。

（1）当价格从4上涨到时，为使该学生仍买得起原来的面包消费量，他的收入应增加多少？

（2）请计算斯勒茨基（Slutsky）替代效应。

（3）请计算收入效应。（上海财经大学2007研）

解：（1）根据该学生对面包的需求函数，当元，时，该学生对面包的需求量。

当价格从4上涨到时，为使该学生仍买得起原来的面包消费量，他的收入应增加

。

（2）为使该学生仍买得起原来的面包消费量，该学生所需的收入水平为。

将和代入需求函数，可得：。

所以，斯勒茨基替代效应为：。

（3）将和代入需求函数，可得：

所以，斯勒茨基收入效应为：。

3．某消费者具有效用函数，和的单位价格均为4元，该消费者的收入为144元。试问：

（1）为使消费者的效用最大化，消费者对和的需求应该各为多少单位？（要求写出最优化问题，然后求解。）

（2）消费者的总效用是多少？每单位货币的边际效用是多少？

（3）若的单位价格上升为9元，对两种商品的需求有何变化？此时总效用为多少？

（4）的单位价格上升为9元后，若要维持当初的效用水平，消费者的收入最少应该达到多少？（要求写出最优化问题，然后求解。）

（5）求的价格上升为9元所带来的替代效应和收入效应。（中山大学2005研）

解：（1）根据题意，可得出预算线方程为：。

构造拉格朗日辅助函数。

效用最大化的一阶条件为：

解得最优选择为（18，18）。

即为使消费者的效用最大化，消费者对和的需求应该各为18单位。

（2）总效用，每单位货币的边际效用。

（3）若的单位价格上升为9元，则相应的预算方程变为。

按照（1）计算方法，构造拉格朗日辅助函数，解得最优选择为（8，18），即购买8单位商品，购买18单位商品。

总效用。

（4）根据消费者效用最大化条件，故有：。

解得：。

将代入效用函数，可得：。

将代入预算方程，可得收入（元）。

即的单位价格上升为9元后，若要维持当初的效用水平，消费者的收入最少应该达到216元。

（5）时，商品的需求量为18；时，商品的需求量为8；

时，商品的需求量为12。所以，的价格上升为9元所带来的替代效应为（12-18）=-6，收入效应为（8-12）=-4。

4．某消费者的效用函数是，元，元，收入元。现在如果下降到1元，请回答下列问题：

（1）价格下降的替代效应使的购买量变化多少？

（2）价格下降的收入效应使的购买量变化多少？（上海大学2009研）

解：消费者效用最大化的问题是：

由柯布-道格拉斯效用函数的性质可知消费者的最优消费束为。

当、、时，可得出最优消费束为。当下降到1元时，可得出此时最优消费束为。所以，当从2元下降到1元时，总效应为。

当从2元下降到1元时，为了使原先所消费的商品组合在新价格下能支付得起，收入应为。

将、和代入需求函数，可得。因此，替代效应为15-10=5，收入效应为20-15=5。

5．一个消费者，收入为120元，购买两种商品，效用为。

（1）设商品价格分别为，求消费者均衡；

（2）商品1的价格下降为，求商品1的替代效应和收入效应。（华中科技大学2004研）

解：（1）由效用函数可得出商品和商品的边际效用，即：

根据消费者效用最大化的条件，有：。

得：  ①

另可得预算线方程为： ②

联立①②式可得：。

即消费者均衡时，消费者消费5单位商品，6单位商品。

（2）当商品1价格下降为时，同理可求得消费者均衡时，消费者消费6单位商品，6单位商品。现求价格下降所造成的替代效应，此时：

解得：。

则可得商品1的替代效应为，收入效应为。

6．某人喜欢喝葡萄酒，当其他商品价格不变时，他对葡萄酒的需求函数为。目前他的收入为7500元，葡萄酒价格为30元/瓶。假设葡萄酒价格上升为40元/瓶，试问：价格上涨的总效应是多少瓶酒？其中替代效应是多少瓶？收入效应是多少瓶？（厦门大学2010研）

解：当葡萄酒价格为30元/瓶时，他对葡萄酒的需求量为0.02×7500-2×30=90瓶；当葡萄酒价格上升为40元/瓶时，他对葡萄酒的需求量为0.02×7500-2×40=70瓶。所以，价格上涨的总效应为70-90=-20瓶。

当价格从30元/瓶上升到40元/瓶后，为了使原先消费的葡萄酒量仍能消费得起，收入的变化应为：

。因此，要使购买力保持不变，收入应该调整为7500＋900=8400元。

将新的价格水平40元/瓶和收入水平8400元代入需求函数，可得需求量为0.02×8400-2×40=88。所以，替代效应为88-90=-2瓶，收入效应=总效应-替代效应=-20-（-2）=-18瓶。