4.2　课后习题详解

1．三年级学生保罗每天在校用餐，它只喜欢Twinkie（）和苏打水（），他从中得到的效用为：。

（1）如果每份Twinkie为0.1美元，苏打水每瓶为0.25美元，为了使效用最大化，保罗应该如何将妈妈给他的1美元伙食费分配在这两种食物上？

（2）学校为了减少Twinkie的消费，将其价格提高到每份0.4美元，那么为了让保罗得到与（1）中相同的效用，妈妈现在要给他多少伙食费？

解：（1）对效用函数进行单调变换，令，这并不改变偏好次序。

保罗效用最大化问题为：

设拉格朗日函数为：

一阶条件为：



解得：，。

因此，他所获得的效用：。

（2）消费品Twinkie价格提高了，但效用水平却保持不变，则保罗面临如下的支出最小化问题：

设拉格朗日函数为：

一阶条件为：

 （1）

（2）

　 （3）

由上述三式解得，，则最小支出为：，所以妈妈现在要给他2美元伙食费使他的效用水平保持不变。

2．（1）一位年轻的品酒师欲支出300美元建一小酒窖，他特别喜欢两种酒：一种是1997年生产的昂贵的法国波尔多白葡萄酒（），每瓶价格为20美元；另一种是稍微便宜的2002年产的加利福利亚葡萄酒（），每瓶4美元。如果他的效用函数如下式所示，则他将在每种酒上花多少钱？

（2）当他来到酒店时，我们年轻的品酒师发现由于法郎贬值，1997年产的法国波多尔白葡萄酒（）已经降到每瓶10美元。如果加利福尼亚葡萄酒依然是每瓶4美元，此时，在价格已变的情况下，为了实现最大效用，他每种酒的购买量应该是多少？

（3）请解释为什么该品酒师在（2）中比（1）中的状况要好。你如何用货币值来衡量效用的增加？

解：（1）该品酒师的效用最大化问题为：

设拉格朗日函数为：

一阶条件为：

从而可以解得：，。

因此为使效用最大化，该品酒师应该在法国白葡萄酒上花200美元，在加利福利亚葡萄酒上花100美元。

（2）当法国波多尔白葡萄酒价格下降时，品酒师的效用最大化问题变为：

设拉格朗日函数为：

一阶条件为：



解得：，。故价格变化后，为实现最大效用，品酒师应购买法国白葡萄酒20瓶，购买加利福尼亚葡萄酒25瓶。

（3）在（1）中，品酒师的效用为：；

在（2）中，品酒师的效用为：。

因而为了实现（2）中的效用水平，此人需要更多的收入。

根据柯布-道格拉斯效用函数的性质可知，品酒师对两种葡萄酒的需求函数分别为：

代入效用函数可得他的间接效用函数为：。

现在有，从而可以解得收入为：。在此收入下，该品酒师者将购买的商品数量为：，，获得的效用为。

3．（1）在某一个晚上，J.P.以下列函数的形式享用雪茄（）和白兰地（）：

那么他这天晚上要抽多少支雪茄，喝多少瓶白兰地酒才能得到最大效用？（假定他不受预算约束）

（2）后来，J.P.的医生告诫他：每天喝的白兰地与抽的雪茄加起来不能超出5单位。在这一条件下，他会喝多少白兰地，抽多少雪茄？

解：（1）在无约束下，J.P.的效用最大化问题为：

效用最大化的一阶条件为：



解得，。从而可知J.P.所获得的最大效用为：。

（2）J.P.所受的约束为：，此时他的效用最大化问题为：

设拉格朗日函数为：

一阶条件为：

从而可以解得：，，。

4．（1）奥德鲍尔先生享用商品和所得的效用函数为：

如果美元，美元，而他的总收入为50美元，求他所能得的最大效用？

提示：求的最大值要比求的最大值方便得多，但这种方法为什么不影响计算结果呢？

（2）画出奥德鲍尔的无差异曲线，并做出无差异曲线与预算线的切点，曲线图是如何描述奥德鲍尔的行为的？你能找到真正的最大值吗？

解：（1）因为可由经过单调变换得到，所以，最大化同时也就使最大化。因此，奥德鲍尔的效用最大化问题可以表述为：

最优化问题的拉格朗日函数为：

一阶条件为：

从而可以解得：，，。

（2）奥德鲍尔的无差异曲线如图4-5所示，显然该无差异曲线没有递减的。无差异曲线与预算线的切点如图4-5中的点所示。在点处，仅满足效用最大化的必要条件，但是不满足充分条件，因而点不是一个局部最优点，效用最大化的点应该是点，奥德鲍尔将其所有的收入用于购买，而商品的购买量为零。在这里，他的效用函数不是凸的，而是凹的。在偏好为凹的情况下，效用最大化点一定在边界上取得。

图4-5  奥德鲍尔的无差异曲线图

5．A先生从马丁尼酒（）中所得的效用与马丁尼酒的消耗量成正比：。

A先生特别喜欢他的马丁尼，但他只喜欢喝将杜松子酒（）与苦艾酒（）按2∶1的固定比例混合而成的马丁尼酒，因此，我们可以将A先生的效用函数改写为：

（1）画出A先生以与为变量的各种效用水平的无差异曲线，请说明无论这两种配料酒的价格如何，A先生永远不会改变他配制马丁尼酒的方法。

（2）求出对与的需求函数。

（3）利用（2）的结论，求出A先生的间接效用函数。

（4）试计算A先生的支出函数；对于每一种效用水平，将支出表示成和的函数。

解：（1）A先生的无差异曲线如图4-6所示。无论商品与的相对价格（即预算线的斜率）如何，效用最大化的点始终是无差异曲线的折点，即满足也即的点。

图4-6  A先生的无差异曲线

（2）将代入预算约束可得：

从而可以解得：，。

（3）因为，将或代入效用函数中，得间接效用函数为

。

（4）利用对偶性可得，支出函数为：

6．假设一位快餐食品爱好者从以下三种商品中获得效用：软饮料（），汉堡包（）和圣代冰淇淋（），他的效用函数为柯布—道格拉斯型的，即：

同时假设三种商品的价格分别为：，，，该消费者的收入为。

（1）证明：对于，效用最大化的结果将与例4.1相同。此外，任何导致（甚至是微小的）的选择都将导致最优结果的减小。

（2）你如何解释是最优的？

（3）为了使的消费量大于0，消费者的收入应该有多高？

解：（1）如果，，则；

如果，则，因为。

如果略大于0（不妨设），则利用柯布-道格拉斯效用函数的性质可得：

因而效用为：

（2）在，，处，有：

，

因而在处，从获得的边际效用“不值”商品的价格。效用函数中的“1”导致了在任何正的数量时已经具有递减的边际效用。商品满足“互补松弛”原理。

（3）如果收入，则最优选择为：，，（可以利用拉格朗日方法求解，此处略去）。为了找到在任何处的购买量，可以利用柯布-道格拉斯函数的性质，即：

从而可得：或，因此，对于，必有。

7．对于柯布-道格拉斯效用函数（）。

（1）求解此柯布-道格拉斯效用函数的间接效用函数。

（2）求解支出函数。

（3）考察用于抵消价格上涨的影响所需的补偿如何与指数的大小有关。

解：（1）对于柯布-道格拉斯效用函数，其相应的需求函数为：

，

将需求函数代入效用函数中，得间接效用函数为：

其中，。

（2）利用对偶原理，可以从间接效用函数中解出支出函数为：

（3）支出关于价格的弹性值为：。

即：在效用函数中越重要，则支出份额中用于补偿其价格上涨的比例也越大。

8．图4-7中所示的总额原则也可以应用于转移支付政策和税收方面。此题将考察这些原则的应用。

图4-7  税收中的一次总付原则

（1）利用一个类似于图4-7的图来证明，相同数额的收入补贴比对商品的补贴能够消费者带来更大的效用。

（2）利用方程4.52中所示的柯布-道格拉斯支出函数，计算消费者效用从提高至时所需增加的支出。

（3）再次利用方程4.52来估计消费者效用从增至时所需对商品补贴的程度。如果将该成本与（2）中的成本进行比较？

（4）第7题要求你计算一个比例4.4中更为一般的柯布-道格拉斯效用函数相应的支出函数。利用支出函数，再次重做（2）与（3），其中。

（5）如果我们利用固定比例情形下（方程4.54）的支出函数，此题的计算结果将如何变化？

解：（1）如图4-8所示，收入补贴可以使消费者的效用达到，而对的商品补贴仅能使效用达到，因而相同数额的收入补贴比对商品的补贴能够消费者带来更大的效用。

图4-8  收入补贴与商品补贴对消费者效用的影响

（2）对于方程4.52中的柯布-道格拉斯函数而言，其支出函数为：

在，，下，支出为。当效用为时，支出为：，因而所需要增加的支出为4。

（3）现在，支出为，即，从而可以解得：。也就是说，每单位必须补贴5/9。在此补贴价格下，消费者将选择购买。所以总补贴金额为5，比（2）中的补贴额高1。

（4）当时，支出函数为：。

因而当，，时，。将效用增至3需要额外支付4.86。

而商品补贴则要求价格为，即每单位补贴0.74元，在较低的价格下，消费者将选择，因而总的补贴额为8.29。

（5）方程4.54中的柯布-道格拉斯函数，其支出函数为：

在，，时，支出为。当效用为时，支出为，因而所需要增加的支出为2。

在支出为4时，要满足效用水平为3，需要政府对价格进行补贴，假设补贴后价格为，，解得，故每单位需要补贴0.667。

在此价格下，消费者选择购买3个单位的，政府补贴金额为2，价格补贴金额与在一次总付补贴下一致，因为固定比例下，消费者需求是固定比例，价格变化没有扭曲消费者行为。

9.CES效用函数的一般形式为：

（1）证明：上述函数在约束条件下，效用最大化的一阶条件是消费者按一定比例选择商品，这个比例式为：

（2）前面我们在讨论一些问题时已经知道，对于柯布—道格拉斯函数（），消费者将在与之间平等分配费用，证明（1）中的结论也包含了这种情况。

（3）的值与的值有什么关系？直观地解释你的结论。

（4）利用拉格朗日方法求解此问题的支出函数。

答：（1）对于此CES效用函数而言，在效用最大化时，有：

，

从而可以解得：

其中，。

（2）如果，则有，因而有，其中，为消费者收入，即消费者将在与之间平等分配费用。

（3）由（1）可知，所以，当时，收入中用于购买的相对份额与其相对价格正相关；当时，收入中用于购买的相对份额与其相对价格负相关。

（4）支出最小化问题为：

设拉格朗日函数为：

一阶条件为：

从而可以解得：

所以，支出函数为：

10．消费者需要一定量的食品（）来维持生存，假设这个量为。一旦购买的食品，消费者将从与其他商品（）得到效用：

其中，。

（1）证明：如果，则为了取得最大效用，消费者将会在食品上花费，在商品上花费。解释这一结果。

（2）在这个问题上，如果收入增加，，的比值将会怎样变化？

解：（1）如果，则效用值为负，因而消费者将会首先支出。对于剩余的收入，这是一个标准的柯布-道格拉斯效用函数最大化问题，从而有：

（2）由（1）以及预算约束条件可得：

对取极限可得：