3.2　课后习题详解

1．画出下列效用函数的无差异曲线，并判断它们是否是凸状的（即边际替代率是否随着的增加而递减）。

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

答：（1）无差异曲线如图3-7所示，为一组直线。边际替代率为：，为一常数，因而无差异曲线不是凸状的。

图3-7  完全替代型的无差异曲线

（2）无差异曲线如图3-8所示，为性状良好的无差异曲线。边际替代率为：，随着的递增，将递减，因而有凸的无差异曲线。

图3-8  凸状的无差异曲线

（3）无差异曲线如图3-9所示。边际替代率为：，因而边际替代率递减，无差异曲线是凸状的，此为拟线性偏好的效用函数。

图3-9  拟线性型的无差异曲线

（4）无差异曲线如图3-10所示。

边际替代率为：，因而边际替代率递增，无差异曲线不是凸状的。

图3-10  凹状的无差异曲线

（5）无差异曲线如图3-11所示。

边际替代率为：，因而边际替代率递减，无差异曲线是凸状的。

图3-11  凸状的无差异曲线

2．在第3章的脚注7中，我们已经证明：为例使得一个关于两个商品的效用函数有严格递减的（即该函数严格拟凹），则如下的条件必须成立：

利用该条件检验第1题中的每个效用函数相应的无差异曲线的凸性。描述此过程中你发现的任何捷径。

答：在第1题中，由于所有的一阶偏导数都是正的，所以仅需要检验二阶偏导数。

（1）因为，所以该效用函数不是严格拟凹的。

（2）因为，，，所以该效用函数是严格拟凹的。

（3）因为，，，所以该效用函数是严格拟凹的。

（4）尽管仅考察时的情形，但是二阶偏导数的符号是不确定的，所以效用函数不一定是严格拟凹的。

（5）因为，，，所以效用函数是严格拟凹的。

3．对于如下效用函数：

（1）

（2）

（3）

证明：尽管这些效用函数具有递减的，但是它们分别显示出边际效用不变、递增、递减。你能从中得出什么结论？

证明：（1），，，，；

（2），，，，；

（3），，，，。

从以上分析可知，单调变化会影响递减的边际效用，但是不会影响边际替代率。

4．如图3-12所示，一种证明无差异曲线的凸性的方法是，对于特定无差异曲线上的任何两点（，

）和（，），两点的中点相应的效用至少与一样大。利用此方法来讨论如下效用函数的无差异曲线的凸性。务必图示你的结论。

图3-12  利用图形判断凸性

答：（1）如果两个商品组合的数量相等，则有：

如果两个商品组合的数量不同，不失一般性，可设：，因而有：

从而可知无差异曲线如图3-13所示，是凸状的。

图3-13  利用图形来判断无差异曲线的性状

（2）由（1）可知，两个商品组合的数量相等，则有：

如果两个商品组合的数量不同，不失一般性，可设：，因而有：

，

从而可知无差异曲线如图3-13所示，不是凸状的，而是凹状的。

（3）在完全替代型的效用函数下，有：

因而无差异曲线既不是凹状的，也不是凸状的，而是线性的。

5.Phillie Phanatic总是喜欢以一种特定的方式来吃Ballpark Franks牌的热狗：他将1英尺长的热狗，恰好配以半块小圆面包，1盎司芥末以及2盎司的咸菜调味品同时食用。

他的效用是以上四种物品的函数，并且额外一种物品的数量增加而其他成分不变是不会增加他的效用的。

（1）Phillie Phanatic对于这四种物品的效用函数的形式是什么？

（2）我们可以如何将Phillie Phanatic的效用视为一种商品的函数来简化问题？这种商品是什么？

（3）假设每英尺热狗的价格为1美元，小圆面包价格为0.5美元，每盎司芥末的价格为0.05美元，每盎司咸菜调味品的价格为0.15美元，则（2）问中定义的商品的价格是多少？

（4）如果每英尺热狗的价格增加50%（即增至1.5美元），则该商品的价格增加的百分比是多少？

（5）小圆面包的价格上涨50%将如何影响该商品的价格？你的答案与（4）问中有何不同？

（6）如果政府对Phillie Phanatic购买的每单位商品征税1美元，则税收将如何在这四种商品中分担，从而使Phillie Phanatic的效用成本最小化？

解：（1）如果代表热狗，代表小圆面包，代表芥末，代表调味品，则Phillie Phanatic的效用函数可以表示为：

这是完全互补效用函数。

（2）可以将Phillie Phanatic的效用视为一种商品的函数来简化问题，即将上述四种物品的组合视为是一种完全调配好的热狗。

（3）该种商品的价格是：（美元）。

（4）如果热狗的价格增至1.5美元，则该商品的价格为：

（美元）

因此，该种商品的价格上涨幅度为：。

（5）如果小圆面包的价格增至（美元），则该种商品的价格为：

（美元）

因此，该种商品的价格上涨幅度为：。

（6）提高价格以使完全调配好的热狗的价格增至2.6美元，从而在征税1美元的情况下，这将等价于购买力的总额减少。为使Phillie Phanatic的效用成本最小化，增收的1美元税收应该在各种商品之间按固定比例分担，即按进行分担。即对每英尺热狗征税0.22美元，每单位小圆面包征收0.44美元，每盎司芥末征收0.22美元，每盎司咸菜征收0.11美元，此时Phillie Phanatic的效用成本最小。

6．许多广告语似乎表明了人们的某些偏好。你将如何利用效用函数来描述下列广告语？

（1）人造黄油与真黄油一样好。

（2）饮可口可乐，万事如意。

（3）你不能仅吃Pringle牌的薯条。

（4）Krispy Kreme牌的油炸饼圈就是比Dunkin牌的好。

（5）Miller Brewing建议我们“负责任地”喝（啤酒）。（什么是“不负责任地”喝酒呢？）

答：（1）如果用代表人造黄油消费量，代表真黄油消费量，则效用函数可以表示为：

这表示人造黄油和真黄油是完全替代品，它们之间的替代比率是1∶1。

（2）如果用代表其他商品的消费量，代表可口可乐的消费量，则效用函数可以表示为：，且满足：。

例如效用函数就可以表示这种偏好。

（3）如果用代表Pringle牌的薯条的消费量，代表其他商品的消费量，则效用函数可以表示为：

，对于所有的以及成立。

（4）如果用代表Krispy Kreme牌的油炸饼圈的消费量，代表Dunkin牌的油炸饼圈的消费量，代表其他商品的消费量，则效用函数可以表示为：，对于所有的成立。

（5）如果用代表其他人的效用水平，代表其他商品的消费量，代表啤酒的消费量，则效用函数可以表示为：，且满足（这表示有利他偏好，说明他喝酒是负责任的），一个人喝酒会影响别人的效用水平。

7．假设某人起初拥有一定数量的两种商品，这两种商品都会给他（她）带来效用。两种商品的初始数量分别为：和。

（1）在此人的无差异曲线图中画出初始的商品组合。

（2）如果此人可以用与其他人交换（或用交换），则他（她）将自愿进行何种类型的交换？他（她）将不愿进行何种类型的交换？这些交换如何与此人在点（，）处的有关？

（3）假设此人对其拥有的初始商品数量较为满意，并且仅考虑那些能使其效用增加的交换。你将在无差异曲线图中如何反映这一点？

答：（1）此人无差异曲线如图3-14所示，它的初始商品拥有量为图中的点。

图3-14  无差异曲线及交换活动对效用的影响

（2）任何不同于在（，）处的的交易机会都有可能提高效用水平。如图3-14所示，代表了提高效用的交换。

（3）对初始商品组合的偏好要求交换活动能够大幅度提高效用才能促使交换发生。因而交换活动只有在交换后的显著不同于在（，）处的时才更有可能发生，如图3-14所示。

8．柯布-道格拉斯效用函数的边际替代率为：

（1）这个结果是否取决于？它与选择理论有无关系？

（2）对于一组商品，其边际替代率如何取决于和？为什么时，？请图示你的直观解释。

（3）与为给定的最低生活水平，假设某人的效用仅仅是由超过这一最低水平的与的数量来决定，在这种情况下，

这是一个位似函数吗？

答：（1）边际替代率为：

这个结果与生产理论不同，不取决于的值。在消费理论中无关紧要，因为效用唯一取决于单调变换。

（2）对于一组商品，边际替代率为：，如果，则消费者对的评价相对更高，从而

。

（3）该函数关于（）和（）是位似的，而关于和不是位似的。

9．如果效用函数满足：



则称它的两种商品具有独立的边际效用。试证明当我们假定每一种商品的边际效用为递减时，具有独立边际效用的效用函数都会有递减的边际替代率。举例证明其逆命题是错的。

证明：意味着只要，，则递减。原命题得证。

原命题的反命题是：如果具有独立边际效用的任一效用函数都会有递减的边际替代率，则每一种商品的边际效用是递减的。下面来证明此命题不一定成立。

在两种消费商品的效用函数下，递减的边际替代率意味着下式成立：

当时，上式变为。显然，这无法推出，的结论。

10．（1）证明：CES函数

是位似函数。如何取决于？

（2）证明：从（1）问中所得的结论与我们对（完全替代）和（柯布-道格拉斯）情形下的讨论相符。

（3）证明：对于所有的，是严格递减的。

（4）证明：如果，则这个函数的仅取决于和相对值的大小。

（5）计算或情况下，当，时，这一函数的？当在附近变动时，它的变动程度如何？你如何从几何图形上给予解释？

证明：（1）边际替代率为：

因而该函数是位似的。

又因为：，所以当时，，即随着的递增，递减；

当时，，即随着的递增，递增；

当时，，即随着的递增，不变。

（2）如果，为一常数；如果，，这与第8题的结论相符。

（3）对于所有的，有：，所以递减。

（4）当时，，所以仅取决于、相对值的大小。

（5）当时，，；

当时，，。

因此，在时比在时变化得更快。越小，无差异曲线更为陡峭。特别地，当时，无差异曲线为表示固定比例偏好的L型。