5.3　 考研真题详解

1．证明消费者最优决策的对偶性。[南开大学2009研]

答：可以从两个角度看待消费者的最优决策。商品和的最优选择不仅可以分析成一个选择与预算线相切的最高无差异曲线，即效用水平最大值的问题，也可以看成是一个选择与既定的无差异曲线相切的最低预算线，即最小预算开支的问题。事实上，可以用对偶性这一术语来指代这两个视角。

（1）获得某个效用水平的成本最小化的问题

要使获得某个效用水平的成本最小化，用数学语言表示为：

对应的拉格朗日函数由下式给出：

式中，是拉格朗日乘数。就和求的微分，并令导数等于零，得到如下的支出最小化的必要条件：

通过整理可得：

所以，成本最小化选择的和必定位于预算线与产生效用的无差异曲线的切点上。

（2）既定预算约束下的效用水平最大化的问题

既定预算约束下的效用水平最大化，用数学语言表示为：

对应的拉格朗日函数由下式给出：

式中，是拉格朗日乘数。就和求的微分，并令导数等于零，得到如下的效用最大化的必要条件：

通过整理可得：

通过对比可以看出，成本最小化选择的点与使效用最大化的点相同，所以对偶的支出最小化问题产生的需求函数，与直接的效用最大化问题所得出的需求函数相同。

2．当收入和价格发生变化时，无差异曲线是否会发生改变和移动？请说明理由。[清华大学2003研]

答：当收入和价格发生变化时，无差异曲线不会发生改变和移动。理由如下：

无差异曲线的一个重要性质是任意两条无差异曲线不能相交。该性质的核心意义是任意无差异曲线表示特定效用量。无差异曲线的形状和位置是由消费者的偏好决定的，只要消费者的偏好不发生变化，其无差异曲线就不会变动。

当收入和价格发生变动的时候，消费者的预算线将发生改变和移动，与无差异曲线的切点改变，从而使最终选择发生变化，但这不会引起无差异曲线变动。

3．一名大学生即将参加三门功课的期终考试，他能够用来复习功课的时间只有6小时。又设每门功课占用的复习时间和相应会取得的成绩如下表：

请问：为使这三门课的成绩总分最高，他应怎样分配复习时间？此时总分是多少？[西北大学2005研]

解：由该名大学生的效用表可得出该名大学生复习经济学、数学、统计学所获得的相应的边际效用（对应的是该名大学生复习各门功课取得的成绩），如表5-6所示。

表5-6  该名大学生的边际效用表

按照基数效用论的观点，该名大学生应选择最优的时间组合，使得自己花费在各门功课上最后一个小时所带来的边际效用相等。根据表5-6，经济学用3小时，每小时的边际效用是10分；数学用2小时，每小时的边际效用是10分；统计学用1小时，每小时的边际效用也是10分。而且所用总时间＝3小时＋2小时＋1小时＝6小时。由消费者均衡条件可知，他把6小时作如上的分配时，这三门课的成绩总分最高。

注意，如果经济学用4小时，数学用3小时，统计学用2小时，每小时的边际效用虽也相等，都是8分，但所用总时间=4小时+3小时+2小时=9小时，超过6小时。所以，此方案不可取。