第4章　多元方差分析

4.1　什么是多元方差分析

根据统计知识，我们知道考查某门学科男女生的平均成绩在总体上是否存在差异时，可用t检验。若要比较该学科中三个或者三个以上不同能力水平组的学生的平均成绩是否存在差异时，可用方差分析（ANOVA）来解决。在方差分析中，有因变量、自变量之分，其中因变量只有一个，而自变量可根据研究需要设定1个或多个。但是现有的研究中往往存在2个以上的因变量，需要同时对一个或多个自变量进行考查。这时应该用什么方法？例如，利用强迫行为与强迫思维两个指标来考查强迫症患者接受心理治疗方式的效果。在这一研究中，因变量有两个，强迫行为与强迫思维分数；自变量一个，即患者接受的治疗方式，认知行为治疗（CBT）组、行为治疗（BT）组与无治疗（NT）组。如果分别对强迫行为与强迫思维做单因素的方差分析，则会增加犯Ⅰ类错误的风险。所谓Ⅰ类错误，是指明明组平均值不存在差异，却被误判为有差异。通常我们把犯Ⅰ类错误的概率控制在0.05以内，即α=0.05。倘若同时进行两个因变量关于同一自变量的方差分析时，Ⅰ类错误的概率值为：

显然犯Ⅰ类错误的概率增加了近一倍。另外，强迫行为与强迫思维的测试结果往往存在某种程度的关联，这种关联是否会影响方差分析的结果？这个问题方差分析是无法回答的。于是统计学家提出了同时处理多个因变量的方差分析，即多元方差分析（multivariate analysis of variance, MANOVA）。它是方差分析的推广，在医学、心理学、教育学等多个学科研究中应用非常普遍。

多元方差分析与方差分析的一个主要区别在于因变量的个数，相应地检验统计量的结构也是不同的。两者的相同之处有，一是对变量的尺度水平要求一致，因变量需是连续变量、自变量则是分类变量；二是两者都可以根据需要选择自变量个数。当只有一个自变量时，称为one-way MANOVA。若有多个自变量，则还要考虑自变量间的交互作用。类似协方差分析，如果在多个因变量中需要控制一个或少数变量的影响时，可以将MANOVA推广到多元协方差分析（MANCOVA）。SPSS等统计软件均可实现上述分析，只是对实验的设计与统计结果的解释需要更强的理论知识和实际经验。表4.1是多元方差分析与相关的方差分析、协方差分析、多元协方差分析的对照表。

表4.1　多元方差分析与方差分析、协方差分析整理表