2.1 早期儿童数学学习与认知发展
儿童对数学知识理解的本质以及儿童数学知识的发展机制一直是心理学和教育学争论的核心话题。关于儿童数学知识的发展机制问题，一种观点认为人类在进化过程中形成了一种内在的系统用以表征和处理数量信息；而另一种观点认为，儿童数学知识的发展机制是一种生成数学知识的一般性学习机制。由此就形成了两种关于早期儿童数学学习与发展的不同观念。
一、数学知识的起源问题：先天和后天的论争
数学知识的起源问题和数学知识在整个儿童期如何发展变化的问题是认知发展领域和数学教育领域的核心问题。发展心理学家一直热衷于数学知识的起源问题及其与其他认知发展领域的关系。而关于知识是学习的结果还是生物遗传的结果，是哲学界和心理学界长期以来争论的话题。如经验主义对这一问题的解释是，儿童通过对外部世界的观察和实际获得的经验来理解哪怕是最简单的数学关系，儿童的数学知识是通过对不同情境经验的归纳得来的。而理性主义认为，人的大脑中有一种先天的数概念，这种数概念给儿童后来的数学能力的发展提供了基础，儿童大脑中先天就有的数概念系统给儿童理解有关数的感知信息提供了可能性。但争论的结果是后天的学习与先天的生物遗传对人的发展来说都是最基本的因素。如即使是“白板说”的提出者洛克，也认为知识完全来自于人的经验，但人的思维能力是来自于生物遗传的能力。他把来自于经验的知识与归因于生物本性的思维能力进行了明确的区分。但他认为思维能力在人的观念的形成中起着非常积极的作用，经验的影响总是依赖于有机体的生物特性。
在数学哲学领域中，数学领域的实在论者认为，数学对象完全是真实的，独立于我们而存在。比起如苹果这样的日常对象或如电子这样的科学实体而言，数学对象与之并无不同。我们不以任何方式创造它们，只是发现它们。数学不是约定的，而是描述性的。数学不是基于经验证据的知识，而是先验知识。一项数学成果即是发现一个已经存在的、特殊领域的客体，这先于人类知识；算术命题是真实的，因为它与我们日常称之为“数字”的实体相一致；而几何告诉我们理想条件下的实体，即“点”“线”之间如何相互关联。而建构主义认为数学实体是我们人类所建构的。如维特根斯坦认为，数学是人类生活形式及语言规则的约定，是特定生活形式的规则体系或语言游戏。数学的可靠性建立在生活形式一致的基础之上。[35]
那么，人类的数学能力是与生俱来的还是后天习得的？这个问题一直是数学心理学中的经典问题。斯坦尼斯拉斯·迪昂（Stanislas Dehaene）的认知神经研究发现并证实了大脑顶内沟（intraparietal sulcus）的数字认知功能。他认为，数学本身也是进化上另一个缓慢的生物演进结果，大脑中专化的智力器官之一为原始数字处理器，它能将我们在学校中学习的数字先转换成形象。人类即使是在较低级的发展阶段，还是具有一种特殊的能力，即数字感（numbersense）。这是一种让动物和人类具有数字意义的直觉感。许多关于婴儿的科学研究表明，即使是1岁以下的儿童，甚至是在他们还无机会通过与周围环境的互动而建立起抽象前，已经具有或多或少的数字概念。新生儿即使是仅出生数天，也能区分数字2与3。但苏联心理学家维果茨基从发展的文化背景出发，认为文化实践和与之相关的工具和符号系统对知识的具体类型的发展具有调节性作用。认知领域至少在某些方面会受到文化实践的塑造。知识获取的过程会随文化实践的内容领域而变化。
英国著名认知神经科学家巴特沃斯（B.Butterworth）基于认知神经科学的证据并从模块理论的假设出发，提出了人类大脑中存在“数字模块”的理论。巴特沃斯认为，数学能力是一种高速的、自动的、具有领域特殊性的认知模块。它不是后天习得的，而是我们先天具有的。他指出：“我们先天就具有了专门从事识别较小数量感的大脑回路，我将这些回路称为数字模块，它们构成了我们数字能力的内部核心。数字模块的功能就是以‘数量感’（numerosity）来对世界（通常表现为较小物体的集合）进行归类。接着，在这个内部核心的基础上，我们再主要从我们身边的文化中获取数字和数字的有关知识，建立起高级数字能力。这就意味着你我的数字能力取决于三个因素：天赋的内部核心、我们所处的文化中的数字知识和我们所掌握这一数字知识的程度。”[36]人类的数学大脑包括先天的数字模块和后天的拓展模块功能的概念工具。其中数字模块是数字能力的内部核心，而概念工具则包括了拓展数字模块功能的文化资源。我们拥有的资源和我们对资源的掌握程度决定了我们数字能力的拓展程度，即决定了更为先进的技能。而先天数字模块和后天数字功能的延伸是通过手指得以联系的。从物种进化角度看，人类手指的广为使用是数字发展的关键；从个体发育角度看，儿童成长发育时，数字模块的大脑核心回路就与手指的大脑回路相联系，使数量感功能得到拓展。数字模块发育正常的情况下，儿童之间的能力差异完全是由源自文化的概念工具的不同决定的。在数字能力的发展因素中，先天因素就是由基因所提供的数字模块，后天因素即教育和练习。
二、儿童数学知识发展的两种观点
（一）数数是儿童数学知识发展的基础
绝大多数关于儿童数学思维发展的研究假设，数数（shǔshù）或者某些决定不连续量的数值的形式是儿童数学知识发展的基础。以格尔曼为代表的一些数学心理学家认为，有一种先天的数数机制能够让婴儿辨别物体集合的数量特征。也有一些理论认为婴儿刚开始仅有有限的，以知觉为基础的、辨别3以内集合数量的机制，这种机制是儿童数概念发展的基础。
先天数数机制理论认为，儿童先天具有一种累加器（accumulator）的机制，能进行一种非言语的数数活动。一种神经冲动发生器会以规则的频率发出神经冲动，这些神经冲动必须穿过一个控制门进入到累加器中。当控制门关闭的时候，神经冲动就不能进入到累加器中。因为每次门开启的时候，就会有一个可数的项目，累加器的内容就会随数到的项目的增加而增加。这样，累加器的最后状态就表明了数到了多少项目。由于每次控制门开启时穿过控制门的神经冲动的数目是不精确的，因而，累加器的最后状态所表征的数量也是不精确的，但它表征了一种顺序。先天的非言语的数数机制是儿童学习言语数数的基础，言语数数系统也要遵循像非言语数数体系一样的规则。那些首先在非言语数数系统中不明确的知识慢慢会在言语数数系统中明确起来。例如，儿童可以利用数数中的数与实体一一对应的关系来进行数守恒的推理。
（二）量的比较是儿童数学知识发展的基础
而以达维多夫（V.V.Davydov）为代表的心理学家认为，儿童数学发展的基础并非数数或其他有关数量理解的机制，而是关于量的关系的基本概念，如相等、少于、大于等概念。这些概念在数值和物体的特征量之间建立联系。该理论认为，数概念的获得是以对不连续量的非数值思维形式为基础的。
他们认为，儿童数学思维的起源是量的比较，量的比较是儿童对数的理解的基础。数系统的界定是基于一系列的诸如集合、相等、许多等概念链。因而，他们认为这些基本概念比数数更基础。量的比较的重要基础是单位（unit）概念的构造。例如，当我们对一个集合的元素数目进行数数的时候，我们就像测量一个连续量一样，首先要决定所数为“1”的物体，然后在集合内重述这个单位。单位在两个方面形成了可比较性特征：一是单位之间的相等关系；二是观察到不同的单位可以应用于同样的特征量，从而认知到数值是对所选单位与特征量间关系的最基本表征。因而，为了较好地理解测量的单位，以及单位大小的变化对数值结果的影响，儿童需要从日常的客体概念中辨别出具有数学意义的单位概念。
三、儿童数学学习的两种观点
在对儿童学习的认识上，主要有两种基本的学习理论，即吸纳理论（absorption theory）和认知理论。这两种理论对于知识的本质、知识如何取得，以及怎样的知识才是知识等问题具有不同的观念。吸纳理论认为知识是事实的集合，是由外在而植于内心的。学习就是使信息内化的过程。而认知理论认为，有意义的知识并不是从外面强行获得的，而是从内心产生的。真正的知识需要洞察和理解。
（一）吸纳理论的数学学习
根据吸纳理论，数学知识本质上就是事实的集合。因而，数学学习就是一个被动接受事实的过程。也就是说，数学学习是一个不断重复练习而形成记忆的过程。知识的增长就如同建造一座事实的仓库，基本上是一种累积的过程。
吸纳理论认为，学习必须通过外在的力量。教师必须通过奖励或处罚的方式来控制儿童的反应。
（二）认知理论的数学学习
认知理论认为，知识的本质上是信息元素借由相互的关系而结合在一起形成有组织有意义的整体。获取知识的过程就是内在自发性地学习和建构关系的过程。这种关系的建构过程意味着儿童思考方式的改变。儿童数学的发展，除了数学经验的量的增加，更重要的是其思维方式的改变。
认知理论认为，学习可以作为它本身的报酬。儿童有一种天然的好奇心，有一种对世界探求的欲望。一旦他们的知识逐渐形成，自然就会寻求更困难的挑战。因而，认知理论认为数学教学就是将数学转换成儿童可以体验的形式，给予儿童去发现数学关系、数学意义以及制造机会供儿童建立数学思考和数学表达的过程。最能激发儿童积极参与学习的方式就是游戏和操作。