第一节 数字游戏

一、迷人的幻方

哈代曾经写道：“数学家就像是画师或诗人，他们的职责就是制造模式。”即使以数学的标准来评判，仍可以说幻方具有非常有趣的模式。它们介于高度符号化的数学和谜题爱好者们所钟爱的迷人模式之间。

幻方是一个方形的表格，其中每一格中写入了各不相同的整数，从而使得每一行、每一列以及对角线上的数字之和相等。

从技术角度来讲，仅包含1行1列的方格也是幻方，但是一般来说，我们都会将其忽略。包含2行2列的方格不可能是幻方。如果存在这样的幻方，我们可以得到图中所示的形式。由于每行和每列的数字之和都相等，因此有a+b=a+c，这就意味着b=c，与表格中的所有数字各不相同相矛盾。

标准的幻方其实是3×3的方格，也就是说，方格中填写的数字是1,2,3, 4,5,6,7,8以及9。

对于这样一个小方格，可以通过“试验法”构建出一个3×3的幻方，但是我们还是先进行一些推导，以帮助我们更快地将它构建出来。如果我们将方格中的所有数字相加，将得到1+2+3+4+5+6+7+8+9=45

这个总和等于方格中每一行数字之和的总和，也就是说，每一行（以及每一列、每条对角线）上的数字之和必须等于15。现在我们来看一下最中间的格子——不妨称为c。中间1行和中间1列，以及两条对角线都包含c。如果我们将这4条线上的数字相加，将得到15+15+15+15=60，而这个数必须等于所有数字之和再加3倍的c。根据等式3c+45=60可得知，c必然等于5。

九宫格，起源于河图洛书，河图与洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，历来被认为是河洛文化的滥觞，中华文明的源头，被誉为“宇宙魔方”。河图上，排列成数阵的黑点和白点，蕴藏着无穷的奥秘；洛书上的图案正好对应着1—9九个数字，并且无论是纵向、横向、斜向，三条线上的三个数字其和皆等于15，当时人们并不知道，这就是现代数学中的三阶幻方，人们把这个神秘的数字排列称为九宫图。九宫图被认为是中国古人数学思维的结晶，是中国古代文明的重要里程碑。

在《射雕英雄传》中黄蓉曾破解九宫格，口诀：戴九履一，左三右七，二四有肩，八六为足，五居中央。

标准的幻方也称为三阶幻方。如果用九个同样的三阶幻方拼接成9×9的正方形方格，共有81个方格。每一个三阶幻方在这里就是小九宫格，每个小九宫格之间用粗线分开，根据位置依次编号，取1—9的9个数字为一组共9组数字，填满81个方格，使其满足3个条件：

（1）每一行都是1—9的不同数字，没有重复数字；

（2）每一列都是1—9的不同数字，没有重复数字；

（3）每一个小九宫格都是1—9的不同数字，没有重复数字。

满足这三个条件，就是九阶数字幻方（如右图所示）。这是构成九阶数字幻方的充分必要条件。

81个方格中任何一个方格改动数字，必然引起全盘“洗牌”，重新排列，得到新的数字幻方，“牵一发而动全身”。那么，究竟存在多少不同的九阶数字幻方呢？中国的严德人先生将此作为学术课题进行了研究，并且设计了专用的软件，终于得出了不同九阶数字幻方的数目，竟然有6.67×1021之多。

九阶数字幻方

➢ 六角幻方

科学研究就是这样富有联想性，有了正方形幻方以后，数学家们必然会追问：有没有多角形幻方？后来便有人发现了六角幻方。

20世纪初，美国数学业余爱好者克利福特·亚当斯对幻方着了迷，他别出心裁地想：既然有正方形幻方，那么能否排出一个六边形的“六角幻方”。他认为只有一层的六角幻方是不存在的，肯定是多层在一起，组成像蜂窝一样的图形。所以他尝试用1—19个连续的自然数排出两层真六边形蜂窝形状的阵列，在其中填入1—19个数，并使得每条直线（包括3个、4个、5个数）的数字之和都相等，等于38（共有15组数之和）。

六角幻方

当年，年轻的亚当斯在伦敦以西约80公里的一个铁路公司的阅览室当职员，他白天工作，晚上研究六角幻方。为了排列方便，他特别制造了19块小纸板，从1到19进行编号，每天工作之余他就像下棋一样来排列他的幻方。从1910年到1962年，亚当斯呕心沥血地研究着六角幻方，历经52年，他终于得出了答案。最后他将研究成果发表在了《科学美国人》“数字游戏”专栏。

事情本该就此画上了句号，但是追求严谨、富有联想的数学家们并没有止步，他们不停地探究各种各样的幻方，如矩形幻方和平方幻方等。每一个幻方的发现，都是一个动人的故事。

➢ 平方幻方

1876年法国数学家艾得渥·卢卡斯（Edouard Lucas）提出平方幻方的设想，但是时至今日还没有发现一个3×3的平方幻方，尽管有一个平方幻方已经非常接近了，如右图所示。这个方格的所有行、列及其中一条对角线上的数字之和都等于21 609，但是另一条对角线上的数字之和却等于1272 +1132 +972 =38 307。

平方幻方

二、数独

数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏。是一种运用纸、笔进行演算的逻辑游戏。玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（3×3）内的数字均含1—9，且不重复。

数独盘面是个九宫，每一宫又分为九个小格。在这81个格中给出一定的已知数字和解题条件，利用逻辑和推理，在其他的空格中填入1—9的数字，使1—9每个数字在每一行、每一列和每一宫中都只出现一次，所以又称“九宫格”，如右图所示。

数独起源于18世纪初瑞士数学家欧拉等人研究的拉丁方阵（Latin Square）。19世纪80年代，一位美国的退休建筑师格昂斯（Howard Garns）根据这种拉丁方阵发明了一种填数趣味游戏，这就是数独的雏形。20世纪70年代，人们在美国纽约的一本益智杂志Math Puzzles and Logic Problems上发现了这个游戏，当时它被称为填数字（Number Place），这也是目前公认的数独最早的版本。1984年一位日本学者将其介绍到了日本，发表在一本游戏杂志上，并改名为“Sudoku”，其中“Su”是数字的意思，“doku”是单一的意思。后来高乐德（Wayne Gould）1997年3月到日本东京旅游时，无意中发现了“Sudoku”。他首先在英国的《泰晤士报》上将其发表，很快数独便风靡全英国，之后他又用了6年时间编写了电脑程序，并将这套程序放在网站上。最近爱尔兰都柏林大学的三位科学家用计算机证明了：九阶标准数独至少必须留有17个数字才能有唯一解。

数独游戏现已风靡全世界，该游戏益智健脑、老少皆宜，自进入中国以来，受到了人们的广泛关注和喜爱。现在数独已经举办了国际竞赛，中国开展数独活动比较晚，但是发展速度引人瞩目。

为了提高趣味性和竞技性，人们还创造出了丰富多彩的数独题目，难度也更大。

对角线数独（Diagonal Sudoku），在标准数独规则基础上，两条大对角线的数字不重复。

迷你数独（Mini Sudoku），由一个4×4或6×6网格组成，游戏的目的是将空方格填上数字1—4或者1—6。

锯齿数独（Jigsaw Sudoku），相对标准数独而言，其“宫”格是不规则的，玩家需在对应的锯齿方框内填入不重复的9个数或N个数，并保证横纵也不重复。

连体数独（Multi Sudoku）：每个谜题都由两个或者更多的数独网格重叠组成，该网格可能是标准数独谜题也可能是混合类型的数独谜题，这些网格都有一个或多个宫重叠。游戏的目的是通过其规则将每个网格均解出。重叠的区域必须同时满足其所在网格的规则。

杀手数独（Killer Sudoku），在标准数独规则的基础上，每个虚线框左上角的数字表示虚线框内所有数字之和，每个虚线框内数字无重复。

锯齿数独

连体数独

杀手数独

三、天煞魔格

相传，有一个抽奖贩子，他有一张写满了数字的方格纸，身旁有一个大柜子，有很多个抽屉，每个抽屉里面有不同数额的金子，只有一个编号为33号，名称为“天煞魔格”的抽屉是空的。

抽奖规则是：在写满了数字的方格纸上，如下图所示，一个人从这些数字中任选一个数圈起来，并把这个数所在的行和列上对应的数打上叉，再从没有被打叉的数中选一个数并圈起来，然后再把它所在的行列上的全部的数都打上叉号……经过反复4次这样的操作后，将最后的数圈起来。最后再将全部所圈起来的数加起来，就是抽屉号码，可以得到抽屉里相应的金子。

前来围观的人都跃跃欲试，张三抢先说了一个数字8，只见贩子把8用红笔圈了起来，然后把8横排和竖排的数字全部叉掉。贩子让张三再选一个没有被叉掉的数字，张三又选了4，按前面的规则，贩子又把4所在的横竖两列上的数字叉掉，张三又选一个10，贩子如法炮制，张三又选了一个5，贩子又把它横竖排的3和8叉掉，随后他把最后一个没被叉掉的6圈起来，说：“8+4+10+5+6正好等于33,33号抽屉是空的，很遗憾，你没有抽到奖。”

怎么会这么巧呢？33号抽屉，恰好是唯一一个没有金子的抽屉。其他的人以为只是张三运气不好，谁知道，接连下来几个人选中的数字最后加起来都是33。

真的是这样吗？到底为什么总是33，而33号抽屉恰好空无一物？那张方格纸究竟又有什么魔力？这些数与“天煞魔格”有什么关系？你也不妨拿出纸和笔，自己尝试一下，看看最后的结果是不是都是33。

有人将这些数的顺序调换位置后，结果发现得数是“33”或“34”或“28”。原来，这个数字游戏颠倒位置是不行的，少数或添数也是不行的。

但其实，现象背后还是有规律可循的：每行按从小到大的顺序排列的话，它们都是差为1的等差数列。整个表格中0所在的那行数字代表了等差数列中哪个大哪个小，0那一列的数字在每一行的等差数列中是最小的，4所在的那列是最大的，并且0这列的数字之和再加10正好等于33。

根据这个规律，表格也能做成让所得的数字之和为别的数，比如100。

首先在任意一行上写0—4的五个数字，顺序随意。比如写的是“2、0、4、1、3”，用所选定的数字100减去10得到90，任意挑选加起来为90的4个数字，比如说18,23,31,18，将它们写在0的那一列上。在23这一行找到1那一列所在的位置加1，写24；在2那列所在的位置加2，写25; 3那列所在的位置加3，写26;4那列所在的位置加4，写27。其他每行同样操作，就得出了数字和为100的天煞魔格，见右图。

若要数字加起来总和为31的话，则该如何填数呢？