Ⅱ
期权的定价以及期权中的Greeks含义（5课时）
第6课 二项期权定价模型
前面我们解释了期权的基本概念和定义，以及期权的价值。接下来我们来谈谈期权的定价，期权的定价方法有很多，我们这里主要对二项期权定价模型和Black-Scholes Model（B-S）期权定价模型进行讲解。这一课主要讲一下二项期权定价模型。
在1979年，二项期权定价模型（Binomial options pricing model, SCRR Model, BOPM）是由考克斯（J.C.Cox）、罗斯（S.A.Ross）、鲁宾斯坦（M.Rubinstein）和夏普（Sharpe）等人提出的一种期权定价模型，称为二项式模型（Binomial Model）或二叉树法（Binomial tree），主要用于计算美式期权的价值。
这种模型比起BSModel更容易理解，因为二项式期权定价模型有几个前提假设：即在给定的时间间隔内，证券的价格运动有两个可能的方向：上涨或者下跌；股价每次向上（或向下）波动幅度不变。根据股价的历史波动率模拟出正股在整个存续期内所有可能的发展路径，并对每一路径上的每一节点计算期权行权收益和用贴现法计算出的期权价格。
随着要考虑的价格变动数目的增加，二项式期权定价模型的分布函数就越来越趋向于正态分布，二项式期权定价模型和布莱克—休尔斯期权定价模型相一致。二项式期权定价模型的优点，是简化了期权定价的计算并增加了直观性，而且这个模型描述了在一段时间内证券价格的变化，而不是某一时间。二项期权主要应用于像美式期权这样，可以在到期日前任何时间点都可以行权的期权。尽管计算起来二项式期权要比B-S模型要慢一些，但是在一些到期时间长，而且还有分红的证券来说，二项式期权计算的证券价格要更准确一些。因此，二项期权定价模式现在已成为全世界各大证券交易所的主要定价标准之一。下面我们来举例说明二项期权定价模型具体是怎么计算和操作的。
首先来看一个最简单的例子，假设苹果（AAPL）股票的价格为100美元，在一年后股票的价格有可能变成110美元，也有可能变成90美元。下一步，假设存在一个苹果的看涨期权，行权价格100美元，到期日一年。上面例子中，苹果价格涨到110美元，这个看涨期权值10美元，苹果股票价格跌到90美元，看涨期权价格为0美元。然后可以根据这个将期权价格折现到今天，就可以算出期权现在的价格。假设无风险利率为3%，股票上涨概率为60%，下跌概率就是40%（见图6-1）。
图6-1 标的物价格上涨下跌概率
看涨期权价格=（10×60%+0×40%）/（1+3%）=5.82美元。如果需要精确计算折现的话，可以用e-r•t代替分母，r就是无风险利率，t是时间，e是常数约为2.71828。如果是多个区间的或者时间段的话就需要多步骤二项期权计算方式，如图6-2所示：
图6-2 期权二项式定价
S0——证券现价
n——时间，如n=1，第一个时间段。
p——股票价格向上波动的概率。
u——证券可能上涨波动的倍率。
d——证券可能下降波动的倍率。
σ——标的资产价格的波动率。
期权价值=［p×Option up+（1-p）×Option down］×exp (-r×Δt)
或者Ct-Δt, i=e-rΔt (pCt, i+1+(1-p) C’v, i-1)
这里只是举了一个简单的一步计算的例子，主要为了大家能够更好地理解用二项期权定价模型是如何计算期权价格的。更复杂的例子就不在这里一一列举了。
二项期权定价模型BOPM的定价依据是在期权在第一次买进时，能建立起一个零风险套头交易（又叫对冲），或者说可以使用一个证券组合来模拟期权的价值，该证券组合在没有套利机会时应等于买权的价格；反之，如果存在套利机会，投资者则可以买两种产品中价格便宜者，卖出价格较高者，从而获得无风险收益，当然这种套利机会只会在极短的时间里存在。期权还有另外一种定价模型，我们会在接下来的课程中学习。