考点3　比例问题模块

一、基本比例问题

比例问题是数学运算考查的重点题型。比例问题常作为许多问题（如工程问题、浓度问题、利润问题）的基础题型。

比例问题的基本知识：

1.若a∶b=c∶d。那么有：ad=bc；

2.若a∶b=c∶d。那么有

3.若a∶b=c∶d。那么有

若有a∶b=c∶d，则有（a+c）：（b+d）=c：d，（a-c）：（b-d）=c：d。

解题思路：两个分量的比例为a：b，可设总量为a、b的最小公倍数。三个分量比例为a：b：c，可设总量为a、b、c的最小公倍数。

小试牛刀　1.少年宫学习美术、舞蹈和唱歌专业的学生共有90人，美术和舞蹈专业的学生比例为2∶3，舞蹈和唱歌专业的学生比例为3∶4。则学生人数最多的专业有（　）人。

A.25　B.30　C.35　D.40

【解析】D 比例问题。根据题干可知美术∶舞蹈∶唱歌=2∶3∶4，共9份，共有90人，则知每份为10人，可知唱歌最多为40人。故选D。

2.今年某高校数学系毕业学生为60名，其中70%是男生，男生中有选择继续攻读硕士学位，女生选择攻读硕士学位的人数比例是男生选择攻读硕士学位人数比例的一半，那么该系选择攻读硕士学位的毕业生共有（　）。

A.15位　B.19位　C.17位　D.21位

【解析】C 比例问题。男生人数是60×70%=42，男生中攻读硕士的有人。女生人数60-42 =18人，女生中攻读硕士的有人。所以一共有17人攻读硕士学位。故选C。

二、浓度问题

浓度问题是考查溶液、溶质、溶剂之间变化关系的问题。浓度问题通常涉及溶液的配比、稀释和浓缩等变化。浓度问题最常用的计算方法就是十字交叉法。

基本核心公式：浓度

浓度问题中的十字交叉法公式

解题思路：抓住不变量列式计算。

小试牛刀　1.有含糖率15%的糖水200克，要使糖水含糖率达到30%，则需要蒸发掉水（　）克。

A.30　B.50　C.80　D.100

【解析】D 考查溶液的蒸发问题。蒸发问题中的不变量是溶质的质量。结合本题来看：原溶液中溶质糖的质量=200×15%=30克。连续蒸发，溶质糖的质量始终保持不变，溶剂水在不断减少，当含糖量为30%时，此时溶液质量=30÷30%=100克，所以蒸发掉的水的质量是200-100=100克。故选D。

2.现有一种杀虫剂，由甲、乙两种不同浓度的溶液配置而成。若从甲中取2100克，乙中取700克，则混合而成的杀虫剂的浓度为3%;若从甲中取900克，乙中取2700克，则混合而成的杀虫剂的浓度为5%。则甲、乙两种溶液的浓度分别为（　）。

A.3%，6%　B.3%，4%　C.2%，6%　D.4%，6%

【解析】C 浓度问题。根据式子交叉法可知，混合溶液浓度介于甲、乙浓度之间。所以甲、乙溶液浓度必有小于3%的和大于5%的。排除A、B、D。故选C。

三、工程问题

工程问题是数学运算最常见的题型之一。解答工程问题的关键是，把全部工程看作整体“1”，再求出一个单位时间的工作量占全部工作量的几分之几，也就是工作效率，然后根据工作量、工作效率和工作时间这三个量的关系解题。

工程问题中总量一般为不变量，可以设总量为时间的最小公倍数，进而求出效率。

基本公式：工作总量=工作效率×工作时间。

解题思路：将工作总量化为一个适当的整数。必要的时候结合使用方程法。

小试牛刀　1.一项工程，甲、乙合作12天完成，乙、丙合作9天完成，丙、丁合作12天完成。如果甲、丁合作，则完成这项工程需要的天数是（　）。

A.16　B.18　C.24　D.26

【解析】B 工程问题。设工程总量为“1”，以甲、乙、丙、丁分别表示相应的工作效率，则：甲+乙，乙+丙，丙+丁，可知：甲+丁=（甲+乙）+（丙+丁）-（乙+丙）=。因此甲、丁合作完成这项工程需要的天数为18。

2.修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成。如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的乙队工作效率只有原来的现在计划16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作（　）天？

A.6　B.8　C.10　D.12

【解析】C 工程问题。可设总工作量为60。则甲的效率为3，乙的效率为2。甲乙二人合作的效率为3× 0.8+2×0.9=4.2。现在要求16天完成，则需要合作x天，甲单独做y天，根据题意可列方程：x+y=16，4.2x +3y=60；解得x=10。故选C。