2.1.3　矩阵

前面介绍了R中重要的数据结构——向量。 R中的向量与数学中的向量非常相似，都只有一个维度。但实际上，信息丰富的数据通常需要多个向量来描述。比如，在狗熊会微信公众号上，熊大的男粉丝和女粉丝数目分别是100人、200人，那么在R中可以用向量c(100,200) 来代表熊大的粉丝统计；狗熊会不断壮大，加入了水妈、政委、段子手，他们的男女粉丝数目分别用向量c(100, 0)，c(0, 100)，c(50, 100)表示。这样，需要用4个向量才能表示狗熊会中熊大、水妈、政委、段子手的粉丝数目。而且随着狗熊会队伍的不断壮大，就需要用越来越多的向量代表每个人的粉丝数目。那么，能不能把这些向量放在一起表示呢？它们统计的不都是“男粉丝”“女粉丝”吗？没错，当然可以。将上述变量叠加起来，就是我们要讲到的矩阵（见图2-6）。

在R中，矩阵其实就是一个二维数组，外表类似Excel中的表格，但重点是其中的每个元素都必须具有相同的数据类型。矩阵也是在各种数值模拟运算中使用最多的数据结构。下面介绍对矩阵的典型操作。

1．创建及引用

在R中创建矩阵基本分成两种情形：

（1）生成一个矩阵。生成一个矩阵很简单，使用matrix( )函数即可，其语法是：matrix vector nrow＝number_of_rows ncol＝number_of_ columns byrow＝T F ，即把要组成矩阵的元素、矩阵的行列数以及排列模式设置好。如果想生成对角矩阵，那么直接用diag( )函数。下面举两个典型例子：生成一个全部取同样值（例如，全部取0）的矩阵，以及生成一个对角线元素全是1（也可以是其他同样的取值）的矩阵。

（2）把已有数据转换成矩阵类型。比如把向量转换成矩阵，通过以下代码就可以将向量1:12转换成3行4列的矩阵。

需要注意的是，这里转换时矩阵元素的排列方式是将向量按列排列的（也可以通过设置byrow＝T将其改变成按行排列）。

另外，也可以用diag vector 函数转换成以vector为对角线的对角矩阵。

2．基本的矩阵操作

通常拿到一个矩阵后，会按什么步骤处理呢？首先，要了解这个矩阵的概貌，比如用dim( )查看矩阵的行列数，或采用nrow( )提取矩阵的行数，ncol( )提取矩阵的列数。其次，如果引用矩阵中的某些元素，与向量类似，将目标元素的位置用方括号括住即可，只不过由于矩阵是二维，因此引用时常常需要具体定义其行列号。若只是提取或者更改矩阵的行列名，则采用rownames( )和colnames( )即可。由此可见，给一个矩阵的行（列）批量命名实际就是在给一个向量赋值，那么前面提到的paste( )函数就可以派上用场了。

此外，还可能需要将多个矩阵合并扩充信息量，cbind( )，rbind( )就可以实现最简单的矩阵之间的合并：前者代表按列合并，后者代表按行合并。

3．对矩阵的数学操作

矩阵作为高等数学的“宠儿”，一直作为重要的数学工具出现在我们的视野，因此R中自然少不了对矩阵数学方面的操作，最简单的加减乘除、求逆的运算等都有对应的函数来实现。值得注意的是，在R中，矩阵的加法和减法使用的符号是“＋”“－”，但乘法有所不同，使用的符号是“%∗%”，而不是“∗”。下面的代码给出了矩阵A%∗% B以及A∗B的结果，你能找出它们的区别吗？

从以上代码可以发现，如果采用A∗B这种写法，只会计算出A中每个元素与B中每个元素对应相乘的结果，并不是线性代数中用到的乘法。

另外，矩阵的逆在R中需要用函数solve(M)计算（而不能直接用M^｛－1｝ 计算得到）。还有更复杂的，比如对一个矩阵做特征值分解或者奇异值分解等操作，手工计算过程非常烦琐，而R语言可以立即给出结果。常见的使用矩阵的数学操作如表2-6所示。

R中自带的矩阵处理函数基本可以解决大部分的矩阵运算问题。但是，当矩阵规模增大时，某些矩阵的运算效率就会显得捉襟见肘，例如，矩阵求逆，特征值、奇异值求解等。为了提高大规模矩阵的运算效率，向大家推荐一个R包：r ARPACK。此包主要针对大规模矩阵运算，包内函数eigs( )可用来进行特征值分解，svds( )用来进行SVD分解。实际上，它们提高分解效率的关键在于，仅对矩阵计算一部分有代表性的特征值（奇异值）来近似分解，类似于主成分分析中只选取前几个主成分来概括原始信息的思想。下面通过一个简单的例子进行展示。

从以上例子可以看出，当分解一个1 000维的矩阵时，r ARPACK包就比基本包里的分解函数效率提升了十几倍；当维数进一步增加时，它们的差距会更大。

4．稀疏矩阵

下面介绍一种特殊矩阵——稀疏矩阵。这是一个与时俱进的新名词，近年来越来越多地被提到。

所谓稀疏矩阵，指的是这样一种矩阵：它所包含的元素中，数值为0的元素远远多于非0元素。随着现代数据采集设备越来越多，在很多领域收集到的数据都有可能带有稀疏的特征。最典型的比如电商网站的用户购买记录、社交网络中的关注关系矩阵。假如把淘宝所有商品的用户购买记录做成一个矩阵，每一列是一个商品，每一行是一个用户，其中的数值代表这个用户是否购买过这个商品，那么就可以用表2-7表示出来。

表2-7只是一个小示例，如果这是一张囊括天猫商城的购物列表，它起码会有数十万的商品列，那么每个用户所购买的商品一定只有极少的一部分，表现在矩阵里就是大量的0，这就形成了一个高度稀疏的矩阵。

再比如，把微博用户之间的关注数据抽象成邻接矩阵A，行和列都代表微博的所有用户（见表2-8）。

表2-8中，数值为1代表第i个用户关注了第j个用户，那么这必然是巨大的稀疏矩阵，因为茫茫人海中，我们关注的只能是寥寥无几（见图2-7）。

了解到稀疏矩阵的确真实存在，下面介绍R中擅长处理这类矩阵的包——Matrix。 Matrix包提供了很多独特的存储、处理稀疏矩阵的方法。比如生成一个稀疏矩阵有两个函数可用：Matrix( )函数和spMatrix( )函数。 Matrix( )函数使用的参数与普通matrix( )函数类似，通过输入数值以及行列数字来定义，区别在于需要设定参数Sparse＝T或F来定义是不是稀疏矩阵。需要注意的是，虽然参数设置类似，但Matrix( )函数生成的矩阵对象却是与matrix( )完全不同的类型。如果Sparse设置为T，它会生成dgCMatrix矩阵类型，也就是以一种先将列按顺序排好再存储起来的方式存储。 spMatrix( )函数则是通过定义非0元素的行列位置来生成dgTMatrix稀疏矩阵类型，其存储方式是将非0元素所在的行、列以及它的值构成一个三元组 i，j，v ，然后再按某种规律把它们存储起来。下面通过几个例子来介绍稀疏矩阵的生成方法。

首先是Matrix( )函数。通过设定参数sparse＝T就可以生成一个稀疏矩阵；如果不设定该参数，则会自动数矩阵中0的个数，超过一半就会设置为稀疏模式。下面来看一个稀疏矩阵。

其次是spMatrix( )函数。它的使用语法是spMatrix(nrow, ncol, i＝integer( ), j＝integer( ), x＝numeric( )) ，其中前两个参数设定矩阵的行列数，i设定需要填补数字的行号，j为列号，x就是需要填补的元素，再对矩阵进行summary( )就可以统一看到它填补元素情况了。

理论上讲，这种方式更适合存储大规模的稀疏矩阵，规模越大，优势越明显；同时，矩阵中0的比例不能太低，否则不如直接存储成一般矩阵。当矩阵维数较低时，稀疏矩阵占用的内存反而比普通矩阵更大，生成时间也可能更长，但是随着矩阵维数的增加，稀疏矩阵在内存大小和生成时间方面的优势会越来越明显。

除了在存储上的优势以外，稀疏矩阵在运算上也有巨大威力，仔细观察下面的结果。

从以上命令可以发现，在做乘积运算时，存储为稀疏矩阵模式会大大提高运算效率，矩阵维数进一步增大，它们的差距就会更加明显。所以常做大规模矩阵运算的读者需要注意，如果面对的矩阵很稀疏，就可以考虑使用Matrix包。