三、严格蕴涵

英国逻辑学家麦柯尔于1880年最早提出了严格蕴涵（strict implication），但他本人简单地把它称为蕴涵，并用“:”这个符号表示：“如果在它前面的那个命题是真的，那么，在它后面的那个命题必然也是真的。”这里他引入了模态词“必然”。他认为，命题除了有真和假两个值之外，还有必然、不可能和不确定这些值，他用A’表示A的否定，用A+B表示A析取B，用AB表示A合取B，用A＜B表示A实质蕴涵B，并用J、L、ε、η、θ分别表示真、假、必然、不可能和不确定，用AJ、AL、Aε、Aη与Aθ分别表示A是真的、A是假的、A是必然的、A是不可能的和A是不确定的。在发表于1903年的一篇论文中，麦柯尔明确说明了“:”（严格蕴涵）与“＜”（实质蕴涵）的不同意义：

A＜B=（A'+B）=（AB'）’

A:B=（A'+B）ε=（A＜B）ε

严格蕴涵更多地是与美国逻辑学家C.I．刘易斯连在一起的。刘易斯不满意弗雷格、罗素系统的中心概念——实质蕴涵，认为对于蕴涵的这样一种理解距离对于蕴涵的直觉理解相差太远，也太弱了，应该加强。1912年，他发表《蕴涵和逻辑代数》一文，提出了“严格蕴涵”概念。他用“～”表示不可能，用“—”表示否定，用“”表示严格蕴涵，并把后者定义为

AB=df～（A—B）

此后数年内，他致力于构造严格蕴涵演算，实际上也就是构造模态命题演算。1932年，他和朗格福德在合著的《符号逻辑》一书中，从严格蕴涵出发，用数理逻辑的方法构造了模态命题逻辑系统S1—S5，从而创立了现代模态逻辑。所以，严格蕴涵是与现代模态逻辑紧密联系在一起的。

严格蕴涵与实质蕴涵很不相同。首先，从内容上看，实质蕴涵反映命题之间的具体真假关系，而严格蕴涵反映的似乎是命题之间的必然性关系。因为按实质蕴涵，一个条件命题在不同时间有不同的真值，例如条件命题“如果我在运动，那么我在散步”，当我确实在散步时，它是一个真命题；而当我不是在散步而是在长跑时，它就是一个假命题。并且，在实质蕴涵那里，一个命题如果是假命题，则它蕴涵任何命题；一旦是真命题，则仅仅蕴涵真命题。严格蕴涵则不然，“AB”所断定的是B已逻辑地暗含于A之中，B是A的逻辑后承，A真B假在逻辑上不可能，或者说，从A推出B是逻辑必然的。因此，“AB”一旦为真就总是为真，而与A、B本身的具体真假无关。严格蕴涵与一个从前提到结论的推理的有效性密切相关，“A严格蕴涵B”与“以A为前提、以B为结论的推理是有效的”，这两种说法几乎是一回事。其次，从推演能力看，严格蕴涵弱于实质蕴涵。实质蕴涵只要求当下不是前件真后件假，而严格蕴涵则要求不可能（永远不会）前件真后件假，所以，严格蕴涵把实质蕴涵的要求大大强化了，其推演能力当然要弱一些。具体来说，如果“AB”，则必然有“A⊃B”，反之不然。例如，“猫叫”实质蕴涵“狗叫”，但“狗叫”不是“猫叫”的逻辑后承，也就是说，“猫叫”并不严格蕴涵“狗叫”。

刘易斯的严格蕴涵成功地避免了像“真命题被任一命题所蕴涵”之类的实质蕴涵怪论，却又产生了自己本身的怪论——严格蕴涵怪论：

（1）□A⊃（BA）

（2）¬◇A⊃（AB）

（3）（A∧¬A）B

（4）B（A∨¬A）

以上公式分别是说：必然命题被任一命题所严格蕴涵；不可能命题严格蕴涵任一命题；逻辑矛盾严格蕴涵任一命题；逻辑真理被任一命题所严格蕴涵。

刘易斯认为，如果切实按严格蕴涵的本义来理解，上述定理并不是什么“怪论”，相反应该承认它们均为真：“这些严格蕴涵悖论所表示的公式是令人惊讶的，但仍然是逻辑中有效的原理。”这是因为，尽管刘易斯不承认许多“实质蕴涵怪论”，但是他认为，（A∧¬A）→B 却是正确的、有效的，他承认下述每一步推理均为有效：

他甚至反问说，有谁能指出上述推理中的哪一步是不正确的，从而它所导致的哪些“怪论”是能够加以拒斥的呢？既然承认上述推理有效，他就承认了下述推理规则是合理的：（i）如果A且B，则A；如果A且B，则B; （ii）如果A，则A或B；如果B则A或B;（iii）如果A或B，且非A，则B; （iv）如果A蕴涵B, B蕴涵C，则A蕴涵C; （v）如果A蕴涵B，并且A蕴涵C，则A蕴涵B且C。严格蕴涵怪论只是他所承认的这些规则的逻辑后果。因此，如果要避免所有那些怪论，就必须至少拒斥上述规则中的某些规则。相干逻辑学家正是这样做的。

根据前面所列的五个标准，严格蕴涵显然具有保真性：如果A严格蕴涵B，则A真B假是不可能的。在普适性和简单性方面，严格蕴涵比实质蕴涵稍差，它也没有直接考虑前提和结论之间在内容方面的相关性。要确立“A严格蕴涵B”，可以不知道A、B本身的真假，因此严格蕴涵独立于命题的真假，但并不独立于命题的模态，因为根据如上所列的（1）和（2），我们仅凭知道B的必然性，就能知道A严格蕴涵B；仅凭知道A的不可能性，就能知道A严格蕴涵B，而根本不管A、B本身是一个什么样的命题。因此，严格蕴涵只具有半独立性。

附带指出一下，严格蕴涵当初本来是作为与实质蕴涵相竞争的一种推理理论而提出的，但研究者后来发现，以严格蕴涵为基础的逻辑系统包含经典命题演算，甚至是后者的直接扩充，于是全部实质蕴涵怪论都在其中，并且它还有如前所述的（弱）严格蕴涵怪论，但没有如下的强严格蕴涵怪论：

A（BA）

¬A（AB）

因而，严格蕴涵系统已逐渐远离蕴涵和可推出性的研究，转而走上了专门研究模态特别是逻辑模态的道路，最后演变成为模态逻辑。这也许可以叫做“种豆得瓜”吧。