一、推理的有效性和蕴涵

1．蕴涵与推理的关联

众所周知，逻辑是研究推理及其有效性的，它的主要兴趣在于提供鉴别推理有效与否的标准，以便把有效的推理与无效的推理区别开来，教会人们进行有效的推理，避免和揭露无效的推理。那么，究竟什么是推理呢？

推理有两种涵义：一是指从一些命题根据某些规则得出一个或一些命题的思维过程和思维活动，在这种意义上常用下述动词来表示，如“推出”（to infer）、“导出”（to derive）、“演绎出”（to deduce）、“衍推出”（to entail）、“得出结论说”（to conclude）、“产生”（to yield）、“得出”（to give）、“从……推出”（to follow from）、“从……得到”（to get from）等。二是指上述思维过程或活动的结果或语言载体，通常由一组语句构成，其中被得出的命题叫做“结论”，作为得出结论之根据和理由的命题叫做“前提”。例如，下面的例1和例2都是推理：

例1 所有人都是有死的，所有希腊人都是人，所以，所有希腊人都是有死的。

例2 如果林丽是歌唱家，则她会唱歌，林丽会唱歌，所以，林丽是一位歌唱家。

不太严格地说，“推理”（inference）与“推导”（derivation）、非专门涵义的“衍推”（entailment）以及“演绎”（deduction）几乎是同义词，只不过“推理”常常指一个单一的步骤或形式，而“演绎”则常常是一系列推理步骤的复合。推理的结论有时又被叫做“后承”（consequence），所以推理中前提和结论之间的关系又被叫做“后承关系”（consequential relation）。

对后承关系可以从语形和语义两个角度去研究。在逻辑中，从一个公式集根据某个系统的变形规则得到的公式叫做该公式集的“语法后承”。设Γ是某个演绎的一组前提的集合，A是该演绎的结论，通常用Γ├A表示A是Γ的语法后承。在形式系统S中，语法后承的概念可严格定义如下：

A是Γ在S中的语法后承，当且仅当，A是下列公式之一：（1）A是Γ中的一个公式；（2）A是S中的一个公理；（3）A是从公式序列前面的公式根据S中的变形规则得到的公式。

根岑在他的博士论文《对逻辑演绎的探究》（1935）中对语法后承作了系统研究，提出了一种一阶逻辑的形式化系统——矢列演算，后者已发展演变成为数理逻辑的一个基础学科——证明论。

在逻辑中，后承更多地是表示“语义后承”，后者简单地就叫做“逻辑后承”。设Γ是一个公式集，A是一个语句，如果Γ中的每一个语句为真，A必定为真，则A是Γ的语义后承，通常用Γ╞A表示。波尔查诺也许是最早对语义后承概念作研究的人，而塔斯基则在《演绎科学方法论的基本概念》、《论元数学的基本概念》（1930）、《形式化语言中的真概念》（1931）、《论逻辑后承》（1936）等论文中对逻辑后承作了精确且系统的研究。塔斯基用模型概念定义逻辑后承：

今L是任一语句的类。我们用相应的变元来替换出现在属于L的语句中的一切非逻辑词项。……这样，我们就得到一个语句函项的类L′。满足L′的每一个语句函项的任意一个对象序列称之为语句类L的一个模型或者实现……如果特殊说来，类L是由单个语句X组成的，那么我们也称类L的模型为语句X的模型。运用这些概念，我们可以定义逻辑后承的概念如下：

语句X逻辑地得自K的语句，当且仅当K的每一个模型也是语句X的一个模型。

通俗地说，如果使得K的每一个语句为真的任何一个解释都使得X为真，则X就是K的逻辑后承。特殊地说，当用变元适当替换命题A、B中的非逻辑词项分别得到A*、B*后，B是A的逻辑后承，当且仅当，“A*⊃B*”的全称封闭式在一个论域（即模型）中为真。塔斯基还以公理化的方式研究了逻辑后承，其基本概念是“后承运算Cn”。从塔斯基的公理出发，我们可以推出

Γ⊆Cn（Γ）；

Cn（Cn（Γ））⊆Cn（Γ）；

如果Γ⊆Δ，则Cn（Γ）⊆Cn（Δ）；

Cn（Γ）⊆Γfin⊆ΓCn（Γfin）。

这里，Γfin表示Γ是一个有穷集。以上公式所刻画的是后承运算的自返性、传递性、单调性和紧致性。塔斯基的研究后来导致数理逻辑的另一基础学科——模型论的创立。

蕴涵（implication）是对于自然语言中的连接词“如果……则……”的逻辑解读，蕴涵式“如果A则B”则表示自然语言中的各种条件句，在逻辑中，一般把它用符号表示为“A→B”。其中A叫做“前件”, B叫做“后件”，尽管可能有时B被陈述在前，A被陈述在后，如“B，如果A”；有时也说A是B的充分条件，B是A的必要条件。在自然语言中，条件句的内容当然是各种各样的，但在经典逻辑中，只从真假关系角度处理条件句，并规定：只有在前件真后件假的情况下，条件句才是假的；在其他三种情况——前件真后件真，前件假后件真，前件假后件假——下，条件句都是真的。后三种情况也可以概括为前件假或者后件真时条件句为真。对条件句真假的这样一种解释被叫做“实质蕴涵”，可以用真值表图示如下：

除实质蕴涵之外，对条件句当然还有其他不同的解释，如严格蕴涵、相干蕴涵、衍推等。

蕴涵因为与推理的关联而备受关注。这是因为，一切推理都可以根据所谓的条件化规则表示为一个蕴涵式。也就是说，通过把该推理的所有前提合取起来作为前件，把该推理的结论作为后件，构成一个“前提→结论”形式的蕴涵式。例如，前面的例1可以改写成这样一个蕴涵式：

例1′ 如果所有人都是有死的并且所有希腊人都是人，那么，所有希腊人都是有死的。

例2则可以改写成这样一个蕴涵式：

例2′ 如果（如果林丽是歌唱家则她会唱歌，并且林丽会唱歌），那么，林丽是一位歌唱家。

然后，根据所主张的关于蕴涵的观点，判定该蕴涵式是不是永真式或普遍有效式。这样一来，对推理有效性的判定最后被归结为对该蕴涵式永真性的判定，对于蕴涵怎么看，对于推理的有效性就会怎么看，这两者本质上是相通和一致的。实际上，人们在具体判定时常常依据两类标准：一类是人们通常所持有的关于推理有效与否的朴素直观的看法，即使未学过逻辑的人，凭借这种看法常常也能正确地判别什么样的推理是有效的，什么样的推理不是。但是这种朴素直观的看法具有严重的缺点：相当模糊，很不精确，所以根据这种看法判定有效性时会常常出错。因此，逻辑学家们构造各种不同的逻辑系统，把直观的有效性观念在这些系统内精确化、具体化，于是出现了相对于不同的形式逻辑系统的精确的有效性概念。而这些系统内有效性观念之不同，则是直接渊源于这些系统对于蕴涵的不同理解或规定。

蕴涵与推理的关联有时被追溯到更远处：尽管蕴涵直接反映的是条件命题前后件之间的关系，但是，由于一个条件命题实际上是一个简化、浓缩、省略的推理，因此刻画条件命题的蕴涵实际上也是刻画推理的。这是因为，尽管条件命题确实反映着条件关系，但是当人们一认识某种条件关系，这种关系立刻就成为进行逻辑推理的根据：满足如此这般的条件（前提），则会得到如此这般的结果（结论）。因此，条件命题在本质上就显现为一个推理。当一个人断定“如果A则B”时，他实际上就断定了从A能够推出B。塔斯基似乎也持有这一看法。他说：“在日常语言中，只有当两个语句有某种形式与内容上的联系时，我们才用‘如果……那么……’把这两个语句连接起来。……这种联系常常和某种确信结合在一起，这个确信就是：后件必然可以由前件而推出，也就是说，如果我们假定前件是真的，我们就会不得不假定后件也是真的（甚至可能确信,我们可以根据某种普遍定律从前件中把后件推出来，虽然这个普遍定律我们不一定能明确地说出来）。”当然，在“如果A则B”中， B不单是从A推出的，而是由A加上一真命题集合后推出的。这个集合中的元素可以是表示规律的普遍性命题，可以是表示经验事实的经验真命题，也可以是其他类型的真命题。例如，当罗素从“2+2=5”推出“罗素和某主教是一个人”时，他就援引了多个真命题。他的推导是这样的：“假设2+2=5，而我知道2+2=4，故得4=5，两边减1得3=4，两边再减1得2=3，两边再减1得1=2，大家知道罗素和某主教是两个人，因此罗素和某主教是一个人，断言得证。”并且，当有人断言“如果A则B”时，听者或读者往往不大清楚如何从A推出B，但断言者本人至少相信能够从A推出B，这一点应该是确实无疑的，尽管他对于究竟要补充多少前提、究竟如何推出，常常也未必十分清楚。于是，一个条件命题就在双重意义上是一个省略的、浓缩的推理：一是省略了一定数量的前提，二是省略了一系列中间推理步骤。正是由于条件命题实际上是一省略的推理，于是判定条件命题正确、真实与否的标准，同时也就成为判别推理有效与否的标准。不过，以上看法没有得到公认。

但是，一个推理可以化归为蕴涵式，推理有效性的判定最后被归结为相应蕴涵式永真性的判定，这一点却是现代逻辑学家的共识。在谈到论证（推理）与蕴涵的相互关系时，有些逻辑学家一致坚持这一论题：

论证形式

A1, …, An; ∴A

是有效的，当且仅当命题形式

（（A1∧…∧An）→A）

是一重言式。

甚至古希腊斯多亚学派也早已认识到这一点。他们对条件命题持有实质蕴涵观点，并认为“一个推论是有效的，只要其结论是从其前提的合取逻辑地推出的”。更具体地说，就是“当我们把前提合取起来，构成了以前提的合取为前件、以结论为后件的条件命题之后，发现这个条件命题是真的，那么这个推论就是真正有效的”。

但是，对蕴涵持其他看法的逻辑学家并不这样认为，他们不承认这些逻辑学家认为有效的许多推理的有效性，例如，持严格蕴涵、相干蕴涵、衍推观点的逻辑学家就不承认下述推理的有效性：

A，所以，如果B则A；

¬A，所以，如果A则B；

A并且 ¬A，所以，B。

而按实质蕴涵，它们却是有效的。持直觉主义立场的逻辑学家甚至不承认排中律的有效性。这些差别的造成，明显地是渊源于对条件命题前后件关系（蕴涵）的不同理解。

综上所述，由于任一推理都可以表示为一个条件命题（蕴涵式），因此，直接刻画条件命题的蕴涵实际上也是刻画推理的，它既是判别条件命题正确、真实与否的标准，同时也是判别推理有效与否的标准。而逻辑的中心任务就是区别有效的推理和非有效的推理，蕴涵理所当然地就成为逻辑学的一个关键性概念。

2．后承关系的一般特征

人们已经提出了多种不同的蕴涵去刻画推理，但都被认为存在着这种或那种缺陷，对推理的刻画是不适当的或不恰切的，与日常直观中的推理观念相距甚远。这就提出了如下问题：我们日常直观中的推理究竟具有哪些特征？一个合适的推理理论实际上也就是一个合适的蕴涵理论，究竟要满足哪些要求？相对于这些要求，哪一种蕴涵是最好的？这里将探讨这些问题，并给出我自己的回答，即一个有效的推理，或者说一个好的推理理论，最好同时满足下面五个要求：

（1）保真性。

一个正确有效的推理必须确保从真的前提推出真的结论。尽管从假的前提出发也能进行合乎逻辑的推理，其结论可能是真的，也可能是假的，但从真前提出发进行有效推理，却只能得到真结论，不能得到假结论。只有这样，才能保证使用这种推理工具的安全性。这种保真性是对于有效推理最起码的要求。

正如斯蒂芬·里德所指出的，保真性本质上是一个代入标准。考虑一个推理M。我们用模式字母来置换M中除逻辑常项之外的其他一切词项，由此得到一个推理形式M′。然后我们用各种方法解释M′中的模式字母，观察M′的任何特例是否有真前提和假结论。如果有M′的一个特例N有真前提和假结论，这就说明M′不能保证从真前提只能得到真结论，因此M′不是一个有效的推理形式，相应地M也不是一个有效的推理。举例来说：

例3 所有巧克力都是可以吃的，所有石头都不是巧克力，所以，所有石头都不是可以吃的。

从中我们可以抽象出一个推理形式：

例3′ 所有M都是P，所有S都不是M，所以，所有S都是P。

我们仍用“巧克力”代入M，用“可以吃的”代入P，但改用“烤鸭”代入S，由此得到：

例4 所有巧克力都是可以吃的，所有烤鸭都不是巧克力，所以，所有烤鸭都不是可以吃的。

显然，这个推理有真前提假结论，因此例3′不是一个有效的推理形式，例3本身也不是一个有效的推理，尽管它有真前提和真结论。

（2）内容相关性。

这是就推理与结论的关系而言的。我们通常进行推理时，前提和结论总是存在着某种共同的内容或意义，使得我们可以由前提想到、推出结论，正是这种共同的意义潜在地引导、控制着从前提到结论的思想流程。除非一个人思维混乱或精神不正常，他通常不会从“2+2=4”推出“雪是白的”，也不会从“2+2=5”推出“雪是黑的”，因为这里的前提和结论在内容、意义上没有相关性，完全不搭界。要在一个推理理论中去反映、刻画这种相关性，所遇到的困难是：首先是难以严格和确切地说清楚究竟什么是推理所涉及的“意义”或“内容”。如果除开逻辑常项之外的一切成分都是内容，而在原则上是可以用任何成分去代入这些表示内容的成分的，只要代入满足一致性条件：同一个被代入项的各处出现用同一个代入项来代换。因此，各种推理的内容是千差万别，有时甚至是风马牛不相及的。试考虑一下：山沟里的农民，城市里的工人，大学里的语言学教授，微软公司的程序设计师，生物基因工程专家，宇宙学家等显然都在进行推理，而他们之间推理的内容相差何其悬殊！逻辑学家不是万能的，不是百科全书，不可能什么都懂，他们在处理推理形式时是无法处理这些差异悬殊的具体内容的，最多只能去寻找、刻画这种内容相关性的形式表现。相干逻辑学家正是这样做的。至于他们的方案是否成功，则留待本章后面相关部分去评价。

（3）独立性。

这仍是就一个推理的前提与结论的关系而言的，它是指：两个命题之间是否存在推理关系，与这两个命题单独所具有的任何性质如真、假以及模态如必然性、可能性、不可能性等无关。这是因为，推理是两个（或两组）命题之间的一种关系，这种关系是否成立，不能单单取决于这两个（或两组）命题独自所具有的性质，而是取决于这两个（或两组）命题之间所共有的某种意义内容或形式联系。因此，我们可以不知道A、B本身的真假，也可以不知道A、B本身的模态性质，却仍有可能知道A是否能推出B。这就是说，A与B之间的推出关系独立于A、B单独所具有的任何逻辑性质。这种看法是符合我们的日常直观的。真命题之间可能具有推出关系，也可能没有；假命题之间可能具有推出关系，也可能没有；假命题（作为前提）与真命题（作为结论）之间可能具有推出关系，也可能没有。同理，必然命题之间、可能命题之间、不可能命题之间以及它们相互之间可能具有推出关系，也可能没有，因此，下述公式作为推理规律是反直观的：

A⊃（B⊃A）

¬A⊃（A⊃B）

□A⊃（BA）

¬◇A⊃（AB）

它们分别是说：真命题被任何命题所蕴涵；假命题蕴涵任何命题；必然命题被任何命题所严格蕴涵；不可能命题严格蕴涵任何命题。它们分别是从实质蕴涵和严格蕴涵派生出来的，相应地被叫做“实质蕴涵怪论”或“严格蕴涵怪论”。如果把实质蕴涵与推出关系视为同一，则实质蕴涵可以这样表述：命题之间的推出关系仅仅根据命题的真值就能成立。如果把严格蕴涵与推理关系视为同一，严格蕴涵也可以这样表述：命题之间的推出关系仅仅根据相应命题的模态性质如必然性、可能性、不可能性等就能成立。这都是违反上述的独立性要求的。

顺便指出，独立性要求是从内容相关性要求派生出来的。正因为前提和结论之间存在着某种意义关联，使得我们可以由前提推出结论，于是这种推出关系就独立于前提和结论所分别单独具有的任何逻辑性质如真假、模态等。正如内容相关性要求在一个形式的推理理论中难以满足一样，独立性要求也是很难得到满足的。

（4）题材中立性或普遍适用性。

如所公认，逻辑是一门基础性和工具性的学科，它应该对一切的题材或内容保持中立，从而普遍适用于一切领域和一切学科。这种题材中立性和普适性是逻辑学的一个本质性特征。而逻辑的核心课题是推理，当我们要通过一套蕴涵理论去提供一套推理理论时，我们也必须确保它具有这种中立性和普适性。我们切不可把它弄得过于褊狭，使它只适用于某些特殊的领域或特殊的人群，从而使它失去了中立性、普遍性和一般性，如此一来它也就不能作为一个逻辑理论而起作用，而蜕变成某个专门领域的专门理论。

（5）简单性。

这是指：在同等条件下，相互竞争的那些逻辑理论中间，逻辑上越简单的越好。简单性是西方科学家和哲学家奉行的一条重要的方法论原则，也是他们始终一贯的美学追求。简单性原则有三个方面的依据：一是本体论方面的，它反映了自然界所具有的内在统一性和规律性。爱因斯坦就曾指出：“逻辑简单的东西，当然不一定就是物理上真实的东西。但是，物理上真实的东西一定是逻辑上简单的东西，也就是说，它在基础上具有统一性。”二是方法论上的，它体现了美学原则和科学原则的统一，简单、和谐与美在本质上是相通的。三是实用方面的考虑：越简单的东西越容易被理解和掌握，从而越能发挥它的效益。逻辑是一种普适性的工具，作为其核心部分的推理理论当然是越简单越好。

单独来看，以上所述的这些要求至少在直观上都是合理的。因此，我们暂时不深究它们的合理性根据，也不考虑它们彼此之间是否相容，而直接以它们为标尺，去考察已经提出的各种蕴涵或推理理论的利与弊和得与失。