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第1章函数、图像和直线

不借助函数却想去做微积分，这无疑会是你所能做的最无意义的事情之一．如果微积分也有其营养成分表，那么函数肯定会排在最前面，而且是占一定优势．因此，本书的前两章旨在让你温习函数的主要性质．本章包含对下列主题的回顾：

· 函数，其定义域、上域、值域和垂线检验；

· 反函数和水平线检验；

· 函数的复合；

· 奇函数与偶函数；

· 线性函数和多项式的图像，以及对有理函数、指数函数和对数函数图像的简单回顾；

· 如何处理绝对值。

下一章会涉及三角函数．好啦，就让我们开始吧，一起来回顾一下到底什么是函数。

1.1 函数

函数是将一个对象转化为另一个对象的规则．起始对象称为输入，来自称为定义域的集合．返回对象称为输出，来自称为上域的集合。

来看一些函数的例子吧。

· 假设你写出f（x）=x2，这就定义了一个函数f，它会将任何数变为自己的平方．由于你没有说明其定义域或上域，我们不妨假设它们都属于R，即所有实数的集合．这样，你就可以将任何实数平方，并得到一个实数．例如，f将2变为4、将-1/2变为1/4，将1变为1．最后一个变换根本没有什么变化，但这没问题，因为转变后的对象不需要有别于原始对象．当你写出f（2）=4的时候，这实际上意味着f将2变为4．顺便要说的是，f是一个变换规则，而f（x）是把这个变换规则应用于变量x后得到的结果．因此，说“f（x）是一个函数”是不正确的，应该说“f是一个函数”.

· 现在，令g（x）=x2，其定义域仅包含大于或等于零的数（这样的数称为非负的）．它看上去好像和函数f是一样的，但它们实际不同，因为各自的定义域不同．例如，f（-1/2）=1/4，但g（-1/2）却是没有定义的．函数g会拒绝非其定义域中的一切．由于g和f有相同的规则，但g的定义域小于f的定义域，因而我们说g是由限制f的定义域产生的。

· 仍然令f（x）=x2,f（马）会是什么呢？这显然是无定义的，因为你不能平方一匹马呀．另一方面，让我们指定“h（x）=x的腿的数目”，其中h的定义域是所有动物的集合．这样一来，我们就会得到h(马)=4,h(蚂蚁)=6,h(鲑鱼)=0．因为动物腿的数目不会是负数或者分数，所以h的上域可以是所有非负整数的集合．顺便问一下，h（2）会是什么呢？当然，这也是没有定义的，因为2不在h的定义域中．“2”究竟会有几条腿呢？这个问题实际上没有任何意义．你或许也可以认为h(椅子)=4，因为多数椅子都有四条腿，但这也没有意义，因为椅子不是动物，所以“椅子”不在h的定义域中．也就是说，h(椅子)是没有定义的。

· 假设你有一条狗，它叫Junkster．可怜的Junkster不幸患有消化不良症．它吃点东西，嚼一会儿，试图消化食物，可每次都失败，都会吐出来．Junkster将食物变成了……我们可以令“j（x）=Junkster吃x时呕吐物的颜色”,其中j的定义域是Junkster所吃的食物的集合，其上域是所有颜色的集合．为了使之有效，我们必须认为如果Junkster吃了玉米面卷，它的呕吐物始终是一种颜色（假设是红色的吧）．如果有时候是红色的，而有时候是绿色的，那就不太好了．一个函数必须给每一个有效的输入指定唯一的输出。

现在我们要来看看函数值域的概念．值域是所有可能的输出所组成的集合．你可以认为函数转变其定义域中的一切，每次转变一个对象；转变后的对象所组成的集合称作值域．可能会有重复，但这也没什么。

那么，为什么值域和上域不是一回事呢？值域实际上是上域的一个子集．上域是可能输出的集合，而值域则是实际输出的集合．下面给出上述函数的值域。

· 如果f（x）=x2，其定义域和上域均为R，那么其值域是非负数的集合．毕竟，平方一个数，其结果不可能是负数．那你又如何知道值域是所有的非负数呢？其实，如果平方每一个数，结果一定包括所有的非负数．例如，平方（或），结果都是2.

· 如果g（x）=x2，其定义域仅为非负数，但其上域仍是所有实数R，那么其值域还是非负数的集合．当平方每一个非负数时，结果仍然包括所有的非负数。

· 如果h（x）是动物x的腿的数目，那么其值域就是任何动物可能会有的腿的数目的集合．我可以想到有0、2、4、6和8条腿的动物，以及一些有更多条腿的小动物．如果你还想到了个别的像失去一条或多条腿的动物，那你也可以将1、3、5和7等其他可能的数加入其值域．不管怎样，这个函数的值域并不是很清晰．要想了解真实的答案，你或许得是一位生物学家。

· 最后，如果j（x）是Junkster吃x时呕吐物的颜色，那么其值域就会包含所有可能的呕吐物的颜色．我很怕去想它们会是什么样的，但或许亮蓝色不在其中吧。

1.1.1 区间表示法

在本书剩余部分，函数总有上域R，并且其定义域总会尽可能和R差不多（除非另有说明）．因此，我们会经常涉及实轴的子集，尤其是像{x:2≤x<5}这样的连通区间．像这样写出完整的集合有点儿烦，但总比说“介于2和5之间的所有数，包括2但不包括5”要强．使用区间表示法会让我们做得更好。

我们约定，[a, b]是指从a到b端点间的所有实数，包括a和b．所以[a, b]指的是所有使得a≤x≤b成立的x的集合．例如，[2, 5]是所有介于2和5之间（包括2和5）的实数的集合．（它不仅仅包括2、3、4和5，不要忘记还有一大堆处于2和5之间的分数和无理数，比如5/2、和π.）像[a, b]这种形式表示的区间我们称作闭区间。

如果你不想包括端点，把方括号变为圆括号就行了．所以（a, b）指的是介于a和b之间但不包括a和b的所有实数的集合．这样，如果x在区间（a, b）中，我们就知道a<x<b．集合（2, 5）表示介于2和5之间但不包括2和5的所有实数的集合．像（a, b）这种形式表示的区间称作开区间。

你也可以混和匹配：[a,b）指的是介于a和b之间、包括a但不包括b的所有实数的集合；（a,b]包括b，但不包括a．这些区间在一个端点处是闭的，而在另一个端点处是开的．有时候，像这样的区间称作半开区间．上述的{x:2≤x<5}就是一个例子，也可以写成[2,5）.

还有一个有用的记号就是（a,∞），它是指大于a但不包括a的所有数；[a,∞）也一样，只是它包括a．此外还有三个涉及-∞的可能性．总而言之，各种情况如下。

1.1.2 求定义域

有时候，函数的定义中包括了定义域．（例如，1.1节中的函数g就是如此．）然而在大多数情况下，定义域是没有给出的．通常的惯例是，定义域包括实数集尽可能多的部分．例如其定义域就不可能是R中的所有实数，因为不可能得到一个负数的平方根．其定义域一定是[0,∞），就是大于或等于0的所有实数的集合。

好了，我们知道取负数的平方根会出问题．那么还有什么会把问题搞糟呢？以下是三种最常见的情况。

（1）分数的分母不能是零。

（2）不能取一个负数的平方根（或四次根，六次根，等等）.

（3）不能取一个负数或零的对数．（还记得对数函数吗？若忘了，请看看第9章！）

或许你还记得tan（90◦）也是一个问题，但这实际上是上述第一种情况的特例．你看，

tan（90◦）之所以是无定义的，实际上是因为其隐藏的分母为零．这里还有一个例子：如果定义

那么f的定义域是什么呢？当然，为了使f（x）有意义，以下是我们必须要做的。

· 取（26-2x）的平方根，所以这个量必须是非负的．也就是说，26-2x≥ 0.这可以写成x≤13.

· 取（x+8）的对数，所以这个量必须是正的．（注意对数和平方根的区别：可以取0的平方根，但不能取0的对数．）不管怎么说，我们需要x+8>0,所以x >-8．到现在为止，我们知道-8< x≤ 13，所以其定义域最多是（-8,13].

· 分母不能为0，这就是说（x-2）= 0且（x+19）= 0．换句话说，x= 2且x=-19．最后一个条件不是问题，因为我们已经知道x处于（-8,13]内，所以x不可能是-19．不过，我们确实应该把2去掉。

这样就找到了其定义域是除了2以外的集合（-8, 13]．这个集合可以写作（-8, 13]\{2}，这里的反斜杠表示“不包括”.

1.1.3 利用图像求值域

让我们来定义一个新的函数F，指定其定义域为[-2,1]，并且F（x）=x2在此定义域上．（记住，我们看到的任何函数的上域总是所有实数的集合．）同时又是对于所有的实数x, f（x）=x2．那么F和f是同一个函数吗？回答是否定的，因为两个函数的定义域不相同（尽管它们有相同的函数规则）．正如1.1节中的函数g，函数F是由限制f的定义域得到的。

现在，F的值域又是什么呢？如果你将-2到1之间（包括-2和1）的每一个实数平方的话，会发生什么呢？你应该有能力直接求解，但这是观察如何利用图像来求一个函数的值域的很好机会．基本思想是，画出函数图像，然后想象从图像的左边和右边很远的地方朝向y轴水平地射入两束亮光．曲线会在y轴上有两个影子，一个在y轴的左侧，另一个在y轴的右侧．值域就是影子的并集；也就是说，如果y轴上的任意一点落在左侧或右侧的影子里，那么它处于函数的值域中．我们以函数F为例来看一下这是怎么运作的吧。

图1-1中左侧的影子覆盖了y轴从0到4（包括0和4）的所有点，也就是[0,4]；另一方面，右侧的影子覆盖了从0到1（包括0和1）的所有点，也就是[0,1]．右侧的影子没有贡献更多，全部的覆盖范围仍然是[0, 4]．这就是函数F的值域。

图1-1

1.1.4 垂线检验

在上一节中，我们利用一个函数的图像来求其值域．函数的图像非常重要：它真正地展示了函数“看起来是什么样子的”．在第12章，我们将会看到绘制函数图像的各种技巧，但现在，我很想提醒你注意的是垂线检验。

你可以在坐标平面上画任何你想画的图形，但结果可能不是一个函数的图像．那么函数的图像有什么特别之处呢？或者说，什么是函数f的图像呢？它是所有坐标为（x,f（x））的点的集合，其中x在f的定义域中．还有另外一种方式来看待它．我们以某个实数x开始．如果x在定义域中，你就画点（x,f（x）），当然这个点在x轴上的点x的正上方，高度为f（x）．如果x没有在定义域中，你不能画任何点．现在，对于每一个实数x，我们重复这个过程，从而构造出函数的图像。

这里的关键思想是，你不可能有两个点有相同的x坐标．换句话说，在图像上没有两个点会落在相对于x轴的同一条垂线上．要不然，你又将如何知道在点x上方的两个或多个不同高度的点中，哪一个是对应于f（x）的值呢？这样就有了垂线检验：如果你有某个图像并想知道它是否是函数的图像，你就看看是否任何的垂线和图像相交多于一次．如果是这样的话，那它就不是函数的图像；反之，如果没有一条垂线和图像相交多于一次，那么你的确面对的是函数的图像．例如，以原点为中心，半径为三个单位的圆的图像，如图1-2所示。

图1-2

这么普通的对象应该是个函数，对吗？不对，让我们进行如图所示的垂线检验．当然，在-3的左边或3的右边都没有问题（垂线甚至都没有击中图像），这很好．就连在-3或3上，垂线和图像也仅仅有一次相交，这也很好．问题出在x落在区间（-3,3）上时．对于这其中的任意x值，垂线通过（x,0）和圆相交两次，这就坏事了．你不知道f（x）到底是对应上方的点还是下方的点。

最好的解决方法是把圆分成上下两个半圆，并只选择上一半或者下一半．整个圆的方程是x2+y2=9，而上半圆的方程是，下半圆的方程是y =．这最后两个就是函数了，定义域都是[-3, 3].你可以以不同的方式来分割．实际上，你不是必须要把它分成半圆（可以分割并改变上半圆和下半圆，只要不违反垂线检验就行了）．例如，图1-3也是一个函数的图像，其定义域也是[-3, 3].

图1-3

垂线检验通过，所以这确实是一个函数的图像。

1.2 反函数

我们假设一个函数f，你给了它一个输入x．如果x在f的定义域中，你就能得到一个输出，我们称它为f（x）．现在，我们把过程倒过来，并问：如果你选一个实数y，那么应该赋予f什么样的输入才能得到这个输出y呢？

用数学语言来陈述这个问题就是：给定一个实数y，那么在f定义域中的哪个x满足f（x）=y？首先要注意的是，y必须在f的值域中．否则，根据定义，将不再有x的值使得f（x）=y成立了．如此在f定义域中将没有这样的x满足f（x）=y,因为值域是所有的可能输出。

另一方面，如果y在值域当中，也可能会有很多值都满足f（x）=y．例如f（x）=x2（其定义域为R），我们的问题是x取何值时会输出64．很显然，有两个x值：8和-8．另外，如果g（x）=x3，对于相同的问题，这时只有一个x值，就是4.对于任意一个我们赋予g去做变换的实数，结果都是如此，因为任何数都只有一个（实数）立方根。

所以这里的情形如下：给定一个函数f，在f的值域中选择y．在理想状况下，仅有一个x值满足f（x）=y．如果上述理想状况对于值域中的每一个y来说都成立，那么就可以定义一个新的函数，它将逆转变换．从输出y出发，这个新的函数发现一个且仅有一个输入x满足f（x）=y．这个新的函数称为f的反函数，并写作f-1．以下是使用数学语言对上述情形的总结。

（1）从一个函数f出发，使得对于在f值域中的任意y，都只有唯一的x值满足f（x）=y．也就是说，不同的输入对应不同的输出．现在，我们就来定义反函数f-1.

（2）f-1的定义域和f的值域相同。

（3）f-1的值域和f的定义域相同。

（4）f-1（y）的值就是满足f（x）=y的x．所以，

如果f（x）=y，那么f-1（y）=x.

变换f-1就像是f的撤销按钮：如果你从x出发，并通过函数f将它变换为y，那么你可以通过在y上的反函数f-1来撤销这个变换的效果，取回x.

这会引发一些问题：你如何知道只有唯一的x值满足f（x）=y呢？如果是这样，如何求得反函数呢，其图像又是什么样子呢？如果不是这样，你又如何挽救这一局面呢？在接下来的三个小节中我们会对这些问题做出回答。

1.2.1 水平线检验

对于第一个问题——如何知道对于f值域中的任意y，只有一个x值满足f（x）=y——最好的方法也许是看一下函数图像．我们想要在f值域中选择y，并且希望只有一个x值满足f（x）=y．这就意味着通过点（0,y）的水平线应该和图像仅有一次相交，且交点为点（x,y）．那个x就是我们想要的．如果水平线和曲线相交多于一次，那将会有多个可能的对应x值，情况会很糟．如果是那样，获得反函数唯一的方法就是对定义域加以限制，我们很快会讨论这一点．如果水平线根本就没有和曲线相交，会怎样呢？就是y根本没有在值域当中，这样也不错。

这样一来，就可以描述水平线检验：如果每一条水平线和一个函数的图像相交至多一次，那么这个函数就有一个反函数．如果即使只有一条水平线和图像相交多于一次，那么这个函数就没有反函数．例如，我们来看一下图1-4中f（x）=x3和g（x）=x2的图像。

图1-4

没有一条水平线和y=f（x）相交多于一次，所以f有一个反函数．另一方面，一些水平线和曲线y=g（x）相交两次，所以g没有反函数．这里的问题在于：如果通过y=x2来求解x，其中y为正，那么就会出现两个解：和.结果你不知道该取哪一个。

1.2.2 求反函数

现在来看第二个问题：如何求得函数f的反函数呢？其实只需写下y=f（x）,然后试着解出x．在f（x）=x3的例子中，有y=x3，所以．这就意味着，．如果你觉得变量y刺眼，可以将它改写为x，写成当然了，求解x并不总是那么简单．事实上，求解经常是不可能的．另一方面，如果你知道函数图像是什么样子的，反函数的图像就会很容易画出来．基本思想是，在图像上画一条y=x的直线，然后将这条直线假想为一个双面的镜子．反函数就是原始函数的镜面反射．如果f（x）=x3，那么f-1的图像如图1-5所示。

图1-5

原始函数f在y=x这面“镜子”中被反射，从而得到反函数．注意：f和f-1的定义域和值域都是整个实轴。

1.2.3 限制定义域

最后要处理第三个问题：如果水平线检验失败因而没有反函数，那应该怎么办呢？我们面临的问题是，对于相同的y有多个x值．解决此问题的唯一方法是：除了这多个x值中的一个，我们放弃所有其他值．也就是说，必须决定要保留哪一个x值，然后放弃剩余的值．正如我们在1.1节中看到的，这称为限制函数的定义域．实质上，我们删去部分曲线，使得保留下来的部分能够通过水平线检验．例如g（x）=x2，可以删除左半边的图像，如图1-6所示。

图1-6

这条新的（实线的）曲线将定义域缩减为[0,∞），并且满足水平线检验，所以它有反函数．更确切地说，定义在定义域[0,∞）上的函数h有反函数，其中h（x）=x2.让我们用镜面反射游戏来看一下它到底是什么样子的，如图1-7所示。

图1-7

为了找到反函数的方程，我们必须在方程y=x2中解出x．很明显，问题的解就是x=或x=，但是我们需要哪一个呢？我们知道反函数的值域和原始函数的定义域是相同的，而后者被限制为[0,∞），所以我们需要一个非负的数来作为答案，即．这就是说，．当然，也可以把原始图像的右半边删除，将定义域限制为（-∞,0]．在那种情况下，我们得到一个定义域为（-∞,0]的函数j．它也满足j（x）=x2，但只是在这个定义域上才成立．这个函数也有反函数，反函数是负的平方根，即.

顺便说一下，如果你让没有通过水平线检验的、定义域为（-∞,∞）的原始函数g（x）=x2在镜子y=x中反射，那么你会得到如图1-8所示的图像。

图1-8

注意到这个图像不会通过垂线检验，所以它不是函数的图像．这说明了垂线检验和水平线检验之间的联系，即水平线被镜子y=x反射后会变成垂线。

1.2.4 反函数的反函数

有关反函数还有一点：如果f有反函数，那么对于在f定义域中的所有x,f-1（f（x））=x成立；同样，对于在f值域当中的所有y，都有f(f-1（y）)=y.（记得，f的值域和f-1的定义域相同，所以对于f值域中的y，我们确实可以取到f-1（y），不会导致任何曲解．）

例如f（x）=x3,f的反函数由给出，所以对于任意的x,f-1（f（x））==x．不要忘记，反函数就像是撤销按钮．我们使用x作为f的输入，然后给出输出到f-1；这撤销了变换并让我们取回了x这个原始的数．类似地，．所以，f-1是f的反函数，且f是f-1的反函数．换句话说，反函数的反函数就是原始函数。

不过，对于限制定义域的情况一定要当心．令g（x）=x2，我们已经看到你需要对其定义域加以限制，方能取得反函数．设想我们把定义域限制为[0,∞），但由于粗心大意而把函数继续看成是g而不是先前小节中那样的h．我们便会说．如果你真要计算g(g-1（x）)，你就会发现它是，即等于x，只要x≥0.（当然，不是这样的话，从一开始你就无法取得平方根．）

另一方面，如果你解出g-1（g（x）），你会得到，它不是总和x相同．例如，如果x=-2，那么x2=4,==2．所以一般而言，g-1（g（x））=x不成立．这里的问题在于，-2没有在g的限制定义域当中．而且，从技术角度而言，你甚至不可能计算g（-2），因为-2不再属于g的定义域了．我们确实应该使用h，而不是g，以便提醒自己要更加小心．不过在实践中，数学家们在限制定义域时经常不会改变字母！所以把这种情形总结如下对大家是很有帮助的。

如果一个函数f的定义域可以被限制，使得f有反函数f-1，那么

· 对于f值域中的所有y，都有f(f-1（y）)=y；但是

· f-1（f（x））可能不等于x；事实上，f-1（f（x））=x仅当x在限制的定义域中才成立。

在10.2.6节，对于反三角函数，我们会再次提到这些要点。

1.3 函数的复合

假设有一个表达式为g（x）=x2的函数g．你可以将x替换成任何使函数有意义的对象，如g（y）=y2或g（x+5）=（x+5）2．后一个例子需要特别注意小括号，若写成g（x+5）=x+52就是错的，因为x+25并不等于（x+5）2．所以在替换过程中如果拿不准，可用小括号．也就是说，如果你需将f（x）写成f（某表达式），可将每一个x替换成（某表达式），这时一定要加小括号．唯一不需要加小括号的情况是，当函数是指数函数时，如h（x）=3x，你可以写成．不需要加小括号是因为你已经将x2+6写成上标了。

现在考虑定义为f（x）=cos（x2）的函数f．若给定一个数x，如何计算f（x）呢？你会首先计算x的平方，然后计算平方值的余弦．鉴于我们可将f（x）的计算分解成前后相继的两个独立的计算，我们也就可以将这些计算各描述成一个函数．因此，令g（x）=x2,h（x）=cos（x）．为了模拟函数f是如何作用于输入值x的，你可先将x输入到函数g进行求平方运算，接着不必返回g的结果而直接让g将其结果作为函数h的输入，然后h计算出一个最终的结果值，该结果值当然是由函数g计算出的x平方值的余弦值．这个过程恰恰模拟了f，故我们可以写出f（x）=h（g（x））,也可表示为f=h◦g，这里的圈表示“与……的复合”，即f是g与h的复合．换言之，f是g与h的复合函数．这里需要小心的是，我们把h写在g的前面（像平常一样从左向右读），但计算时我们要先从g开始．我承认这确实容易让人搞混，但我也没办法——你只能试着去接受。

练习求两个或多个函数的复合是很有用的．例如，若g（x）=2x,h（x）=5x4, j（x）=2x-1，则函数f=g◦h◦j的表达式是什么？我们只需从j开始，将其代换到h，接着再将结果代换到g，可得

同样，你需要练习该过程的逆过程．例如，假定你开始于函数

如何将f分解为几个简单函数呢？从函数式中找到x，首先需要加3，所以设g（x）=x+3；然后要对所得值取以2为底的对数，所以令h（x）=log2（x）；接着需乘5，则设j（x）=5x；再接着要求正切值，因此令k（x）=tan（x）；最后要取倒数，于是令m（x）=1/x．由上，验证下式：

f（x）=m（k（j（h（g（x）））））.

利用复合符号，可以写成

f =m◦k◦j◦h◦g.

这并不是函数f的唯一分解形式．例如，我们可以将函数h和j复合成另一个函数n，其中n（x）=5log2（x）．然后你应该验证一下n=j◦h和

f =m◦k◦n◦g.

或许最初（包含j和h）的分解较好一点，因为它将f分解成更多的基本形式，但第二种（包含n）也没错，毕竟n（x）=5log2（x）仍是关于x的较为简单的函数。

注意，函数的复合并不是把它们相乘．例如f（x）=x2sin（x）,f不是两个函数的复合，因为对任意给定的x，计算f（x）的值需要求解x2和sin（x）（先求哪个值都没关系，这与复合函数不同），然后将这两个值乘起来．若令g（x）=x2,h（x）=sin（x）,则我们可以写成f（x）=g（x）h（x）或f =gh．可将它与这两个函数的复合函数j=g◦h，即

j（x）=g（h（x））=g（sin（x））=（sin（x））2

或j（x）=sin2（x）比较一下．函数j完全不同于乘积x2sin（x），它同样不同于函数k=h◦g．函数k也是g和h的复合函数，不过是按另一个顺序的复合：

k（x）=h（g（x））=h（x2）=sin（x2）.

k是另一个完全不同的函数．这个例子说明，函数的乘积和复合是不同的，且函数的复合与函数顺序有关系，而函数的乘积与函数顺序无关。

复合函数另一个简单但重要的例子是，将函数f和g（x）=x-a（a是常数）进行复合．对复合得到的新函数h（x）=f（x-a），需要关注的是新函数y=h（x）和函数y=f（x）的图像是一样的，只不过y=h（x）的函数图像向右平移了a个单位．如果a是负的，那么就是向左平移．（一种理解方式是，向右平移-3个单位与向左平移3个单位是一样的．）那么如何画y=（x-1）2的图像呢？就像画y=x2的图像一样，只是用x-1来代替x．所以可将函数y=x2的图像向右平移1个单位，如图1-9所示．类似地，y=（x+2）2的图像是将y=x2的图像向左平移2个单位，可把（x+2）理解为（x-（-2））.

图1-9

1.4 奇函数和偶函数

一些函数具有对称性，这便于对它们进行讨论．考虑定义为f（x）=x2的函数f，任选一个正数（我选3）作用于函数f（得到9）．现在取该数的负值，由我选择的数可得-3，将其作用于函数f（又得到9）．不论你选择的是几，应该跟我一样，两次得到了相同的值．你可将这种现象表示为，对所有的x，有f（-x）=f（x）．也就是说，将x作为f的输入和将-x作为输入，会得到一样的结果．注意到g（x）=x4和h（x）=x6同样具有这种性质．事实上，当n是偶数时（n可以是负数）,j（x）=xn具有相同的性质．受以上讨论的启发，我们说，如果对f定义域里的所有x有f（-x）=f（x），则f是偶函数．这个等式对某些x值成立是不够的，它必须对定义域里的所有x都成立。

现在，我们对函数f（x）=x3做相同的讨论．选择你喜欢的任一正数（我仍选3）作用于f（得到27）．用你选的数的负值再试一遍，我的数的负值是-3，得到-27,你同样应该得到先前结果的负值．可以用数学方式将其表示为f（-x）=-f（x）．同样地，当n是奇数时（n可以是负数）,j（x）=xn具有相同的性质．因此我们说，当对f定义域内所有x都有f（-x）=-f（x）时，f是奇函数。

一般而言，一个函数可能是奇的，可能是偶的，也可能非奇非偶．要记住这一点，大多数函数是非奇非偶的．另一方面，只有一个函数是既奇又偶的，它就是非常单调的对所有x都成立的f（x）=0（我们称之为零函数）．它为什么是唯一的既奇又偶的函数呢？我们证明一下．若函数f是偶函数，则对所有x有f（-x）=f（x）；但如果同时它又是奇的，则对所有x有f（-x）=-f（x），用第一个等式减去第二个等式，得到0=2f（x），即f（x）=0，这对所有x成立，因此函数f一定是零函数．另一个有用的结论是，如果一个函数是奇的，并且0在其定义域内，则f（0）=0．为什么呢？由于对定义域里的所有x,f都有f（-x）=-f（x），我们用0试一下．我们得f（-0）=-f（0），但-0等于0，因此f（0）=-f（0），化简得2f（0）=0，即f（0）=0.

不论如何，对于一个函数f，怎么来判定它是奇函数、偶函数或都不是呢？若是奇函数或偶函数又怎样呢？我们先来看下第二个问题，然后再讨论第一个问题．当知道一个函数的奇偶性之后，一个比较好的事情就是画函数图像比较容易了．事实上，如果你能将这个函数的右半边图像画出来，那么画左半边图像就是小菜一碟．我们先讨论当f是偶函数时的情形．因f（x）=f（-x）, y=f（x）的图像在x和-x坐标上方具有相同的高度，且对所有的x都成立，如图1-10所示。

图1-10

我们得到这样的结论：偶函数的图像关于y 轴具有镜面对称性．所以当你画出偶函数的右半边图像后，就可以通过将其图像关于y轴反射得到它的左半边图像．不妨用y=x2的图像检验一下它的镜面对称性。

另一方面，假设f是奇函数．因f（-x）=-f（x）,y=f（x）图像在x坐标上方和-x坐标下方具有相同的高度．（当然，若f（x）是负的，你可以调换一下“上方”和“下方”两个词．）不论如何，其图像如图1-11所示。

图1-11

现在的对称性是关于原点的点对称，即奇函数的图像关于原点有180◦的点对称性．这就意味着，如果你只有奇函数的右半边图像，你可按下面的方法得到其左半边的图像．想象该曲线是浮在纸面上，你能够把它拿起来但不能改变它的形状．不过，你没有把它拿起来，而是用大头针在原点处把曲线钉住（回想一下，奇函数若在0处有定义，它必定通过原点），然后将整个曲线旋转半圈，这样就得到左半边图像的样子了．（如果曲线是不连续的，即不是连在一起的一条，这个方法就不那么好用了．）可验证一下，上面的图像和函数y=x3的图像都具有这样的对称性。

现在假设f定义为f（x）=log5（2x6-6x2+3），你怎么确定f是奇函数、偶函数，还是都不是呢？方法就是，将每个x替换为（-x）并计算f（-x），一定要记着给-x加上小括号，然后化简结果．如果你得出了原始表达式f（x）,f就是偶的；如果得到原始表达式的负值-f（x）,f就是奇的；如果得到的结果一团糟，既不是f（x）也不是-f（x），则f就非奇非偶（或之前的化简不充分）．由上例，可得

f（-x）=log5（2（-x）6-6（-x）2+3）=log5（2x6-6x2+3）,

本式实际上等于f（x）本身，因此函数f是偶的．那函数

的奇偶性又如何呢？对函数g，我们有

现在可把负号提到前面来，得到

注意到结果等于-g（x），即除了负号以外，剩下部分就是原始函数，因此g是奇函数．那函数h呢？我们有

我们再次把负号提到前面来，得到

嗯，看起来这不是原始函数的负值，因为分子上有个+1．它也不是原始函数本身，所以函数h是非奇非偶的。

我们再看一个例子．若想证明两个奇函数之积是偶函数，该怎么做呢？先给事物命名比较利于讨论，我们就定义有两个奇函数f和g．我们需要看一下它们的乘积，因此定义它们的积为h，即定义了h（x）=f（x）g（x），而我们的任务是要证明h是偶的．像往常一样，我们需要证明h（-x）=h（x）．因f和g都是奇的，注意到f（-x）=-f（x）,g（-x）=-g（x）会有所帮助．我们从h（-x）开始．由于h是f和g的乘积，有h（-x）=f（-x）g（-x）．再利用f和g的奇函数性质将等式右边表示为（-f（x））（-g（x）），负号提到前面消掉，由此得到f（x）g（x），而它当然等于h（x）．我们可以（也应该）把上述过程用数学式表示为

h（-x）=f（-x）g（-x）=（-f（x））（-g（x））=f（x）g（x）=h（x）.

总之，由h（-x）=h（x）可得函数h是偶函数．现在你应该可以证明两偶函数之积仍为偶函数，奇函数和偶函数之积是奇函数．马上试一下吧！

1.5 线性函数的图像

形如f（x）=mx+b的函数叫作线性函数．如此命名原因很简单，因为它们的图像是直线．直线的斜率是m．设想一下，此时此刻你就在这页纸中，这条直线就像是座山，你从左向右开始登山，如图1-12所示。

图1-12

如果像左图一样，斜率m为正数，那么你正在上山．m越大，这段上坡就越陡．相反，如果m为负数，那么你正在下山．m的数值越小（即绝对值越大），这段下坡也就越陡．如果斜率为0，这段山路就是水平的，你既不在上山，也不在下山，仅仅是在沿一条水平直线前行。

你仅仅需要确认两个点，就可以画出线性函数的图像，因为两点确定一条直线．你所要做的就是把尺子放在这两点上，笔轻轻一连就行了．其中一点很容易找，就是y轴的截距．设x=0，很显然y=m×0+b=b．也就是说，y轴的截距为b，所以直线通过（0,b）这点．我们可以通过找x轴的截距来找另一点，设y为0，求x的值．不过，这种方法在两种特殊情况下不适用。

情况一：b=0，这时函数变为y=mx．直线通过原点，x轴和y轴的截距都为零．为了求得另一点，可以把x=1代入，可得y=m．所以直线y=mx通过原点和（1, m）这两点．例如，直线y=-2x通过原点和（1, -2），如图1-13所示。

图1-13

情况二：当m=0，这时函数变为y=b，是一条通过（0, b）的水平直线。

更有趣的例子，可考虑函数．很显然，y轴截距为-1，斜率为1/2.为画这条直线，我们还需要求出x轴的截距．通过设y=0可以得出,化简后得出x=2．图像如图1-14所示。

图1-14

现在假设你知道平面上有一条直线，但不知道它的方程．如果你知道这条直线通过某一固定的点以及它的斜率，那就能很容易地找到它的方程．你真的，真的，真的，很有必要去掌握这种方法，因为它经常出现．这个公式叫直线方程的点斜式，其文字表达如下：

如果已知直线通过点（x0, y0），斜率为m，则它的方程为y-y0=m（x-x0）.

如果已知一条直线通过（-2,5），斜率为-3，如何求它的方程？方程为y-5=-3（x-（-2）），化简后结果为y=-3x-1.

有时你不知道直线的斜率，但知道它通过哪两点．那怎样求它的方程呢？技巧是，找出它的斜率，再用刚才的方法去求出方程．首先，你需要知道：

如果一条直线通过点（x1,y1）和（x2,y2），则它的斜率等于.

例如，通过（-3,4）和（2, -6）的直线方程是什么？首先，求它的斜率：

我们现在知道该直线通过（-3,4），斜率为-2，所以它的方程为y-4=-2（x-（-3））,化简后为y=-2x-2．同样，我们也可以使用另一点（2, -6）和斜率为-2，得出方程为y-（-6）=-2（x-2），化简后为y=-2x-2．你会发现，无论使用哪一个点，最后得到的结果都是相同的。

1.6 常见函数及其图像

下面是你应该知道的最重要的一些函数。

（1）多项式有许多函数是基于x的非负次幂建立起来的．你可以以1、x、x2、x3等为基本项，然后用实数同这些基本项做乘法，最后把有限个这样的项加到一起．例如，多项式f（x）=5x4-4x3+10是由x4的5倍加x3的-4倍加10而形成的．你可能也想加中间的基本项x2和x，但由于它们没有出现，所以我们可以说零倍的x2和零倍的x．基本项xn的倍数叫作xn的系数．例如，刚才的多项式x4、x3、x2、x和常数项的系数分别为5、-4、0、0和10.（顺便提一下，为什么会有x和1的形式？这两项看上去与其他项不同，但它们实际上是一样的，因为x=x1,1=x0.）最大的幂指数n（该项系数不能为零）叫作多项式的次数．例如上述多项式的次数为4，因为不存在比4大的x的幂指数．次数为n的多项式的数学通式为

p（x）=anxn+an-1xn-1+…+a2x2+a1x+a0,

其中an为xn的系数，an-1为xn-1的系数，以此类推，直到最后一项1的系数为a0.

由于xn是所有多项式的基本项，因而你应该知道它们的图像是什么样的．偶次幂的图像之间是非常类似的；同样，奇次幂的图像之间也很类似．图1-15是从x0到x7的图像。

图1-15

一般的多项式的图像是很难画的．除非是很简单的多项式，否则连x轴的截距都经常很难找到．不过，多项式的图像左右两端的走势倒是容易判断．这是由最高次数的项的系数决定的，该系数叫作首项系数．an就为上述多项式通式的首项系数．例如，我们刚才提到的多项式5x4-4x3+10,5为它的首项系数．实际上，我们只需考虑首项系数正负以及多项式次数的奇偶就能判断图像两端的走势了．所以图像两端的走势共有如下四种情况，如图1-16所示。

图1-16

上述图像的中间部分是由多项式的其他项决定的．上图仅仅是为了显示图像左右两端的走势．在这个意义上，多项式5x4-4x3+10的图像同最左边的图像类似，因为n=4为偶数，an=5为正数。

我们再稍微讨论一下次数为2的多项式，又叫二次函数．不写成+a1x+a0，而把系数分别写成a、b、c会更简单些，即我们有p（x）=ax2+bx+c．根据判别式的符号可以判断二次函数到底有两个、一个还是没有实数解．通常我们用希腊字母∆来表示判别式∆=b2-4ac．它共有三种可能性．如果∆>0，有两个不同的解；如果∆=0，只有一个解，也可以说有两个相同的解；如果∆<0，在实数范围内无解．对于前两种情况，解为

注意到该表达式根号下为判别式．二次函数的一个重要技术是配方．下面举例说明.考虑二次函数2x2-3x+10．第一步把二次项的系数提出来，多项式变为了.这时就得到一个二次项系数为1的多项式．接下来的关键一步是把x的系数，这里是，除以2，再平方．我们得到．我们多希望常数项是,而不是5，所以我们开动脑筋：

为什么要加一次，又减一次呢？因为这样的话，前三项为平方形式.这时我们得到

接下来，只剩最后一小步，．最后恢复系数2，我们有

事实证明，这个形式在许多情形中更为便利．你一定要学会如何配方，因为我们要在第18章和第19章大量运用这个技巧。

（2）有理函数形如，其中p和q为多项式的函数，叫作有理函数．有理函数变化多样，它的图像根据p和q两个多项式的变化而变化．最简单的有理函数是多项式本身，即q（x）为1的有理函数．另一个简单的例子是1/xn，其中n为正整数．图1-17是一些有理函数的图像。

图1-17

奇次幂的图像之间类似，偶次幂的图像之间也很类似．知道这些图像长什么样子是有帮助的。

（3）指数函数和对数函数你需要知道指数函数的图像长什么样．例如，图1-18是y=2x的图像。

图1-18

y=bx（b>1）的图像都与这图类似．有几点值得注意．首先，该函数的定义域为全体实数；其次，y轴的截距为1并且值域为大于零的实数；最后，左端的水平渐近线为x轴．再强调一下，该图像非常接近于x轴，但永远不会接触到x轴，无论在你的图形计算器上多么接近．（在第3章中，我们会再次碰到渐近线．）y=2-x的图像是y=2x关于y轴的对称，如图1-19所示。