2.3.1　复合函数的求导法则

定理（链式法则）　若函数u=φ（x）在点x处可导，函数y=f（u）在其对应点u=φ（x）处也可导，则复合函数y=f（φ（x））在点x处可导，且

简记为

y′x=y′u·u′x.

上述公式称为复合函数的求导法则，也称链式法则.

证明　设x，u，y的改变量分别为Δx，Δu，Δy，因为函数u=φ（x）在点x处可导，所以u=φ（x）在点x处连续，即当Δx→0时，Δu→0，且假设Δu≠0时：

即

[f（φ（x））]′=f′（u）·φ′（x）.

例1　设y=（2x+1）5，求y′.

解　该函数由y=u5，u=2x+1复合而成，所以

y′x=y′u·u′x=（u5）′u·（2x+1）′x=（5u4）·2=10（2x+1）4.

例2　设y=ln（1+x2），求y′.

解　该函数由y=lnu，u=1+x2复合而成，所以

发现：今后在求复合函数的导数时，要达到熟练运用该求导法则，应熟练运用如下方法技巧。“将复合过程默记在心、不必写出、由外往里、逐层求导”.

例如，求复合函数y=sin（3x2-5）的导数，将函数的复合过程y=sinu，u=3x2-5默记在心、不必写出，由外往里、逐层求导，得

y′=[sin（3x2-5]）′=cos（3x2-5）·（3x2-5）′=6xcos（3x2-5）.

例3　求下列函数的导数y′.

（1）；（2）；

（3）y=sinln（1-2x）；（4）y=sec32x.

解　

（4）y′=（sec32x）′=3sec22x·（sec2x）′

=3sec22x·sec2x·tan2x·（2x′）=6sec32x·tan2x.

发现：如果y=f（u），u=φ（v），v=ψ（x）均可导，则复合函数y=f（φ（ψ（x）））可导，且y）′x=y′u·u′v·v′x.

此求导法则可以推广到有限个函数复合而成的复合函数求导.

例4　,求y′