§1.1　函数的概念与性质

1.1.1　函数的概念

1.函数的定义

在研究实际问题时，所涉及的几个变量之间往往具有某种确定的关系.如圆的面积S=πr2，当半径r取某一正数时，圆面积S就有唯一确定的数值与之相对应.一般地，可抽象得出函数的定义.

定义1　设D是一个非空实数集合，f是一个对应法则，在此法则下，对每一个x∈D，在实数集R中都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应法则f为定义在实数集D上的一个函数，称变量y是变量x的函数，记作

y=f（x），　x∈D.

其中，x称为自变量，y称为因变量，集合D称为函数f的定义域，通常记作Df；因变量的取值的全体所构成的集合称为函数的值域，通常记作Rf，即

Rf={y|y=f（x），x∈D}.

注　（1）函数概念中的f和f（x）的含义不同.f表示从自变量x到因变量y的对应法则，而f（x）表示与自变量x对应的函数值，有时也常用y=y（x）表示函数，这时右边的y表示对应法则，左边的y表示与x对应的函数值.

（2）在数学中，通常用小写或大写的拉丁字母f，g，h，…，F，G，H，…和一些希腊字母ф，φ，ψ，…来作为表示函数的记号.

（3）函数的概念反映了自变量x与因变量y之间的依赖关系，即实数集合D到实数集合R之间的对应规律.确定函数的两个要素是定义域和对应法则.如果两个函数的定义域和对应法则都相同，那么这两个函数是同一函数.

例如，函数与定义域不同，所以这两个函数不是同一函数；又如，函数y=x与y虽然定义域相同，但对于函数

可见它们的对应法则不同，所以这两个函数不是同一函数.

（4）函数概念中要求对于任意x∈D，都有唯一确定的y值与之对应.但对于任意x∈[-1，1]，都有两个y值与之对应，不符合函数的定义，这时也可以将其定义为一个函数，称之为多值函数，相应地把定义1中所指的情形称为单值函数.本书中提到的函数除特别说明都是指单值函数.

2.函数的表示法

函数常见的表示法一般有三种：解析法、列表法及图像法.

解析法：用数学表达式表示两个变量之间的函数关系，这种表示方法称作解析法，这个数学表达式称作函数的解析式.

列表法：列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法称作列表法.

图像法：以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点的连线构成了函数的图像，这种用图像表示两个变量之间函数关系的方法称作图像法.

函数的不同表示法具有不同的特点.解析法的特点是能简明、全面地概括变量间的关系；图像法的特点是直观形象地表示出函数的变化情况；列表法的特点是便于求出函数值.三种表示法各有不同的特点，所以常常将它们结合起来使用，在中学数学中已经学习过，这里不再举例说明.

3.几个重要的分段函数

在实际应用中，经常遇到这样的函数：定义域的不同部分用不同的解析式表示，这样的函数称为分段函数.

例1　绝对值函数

定义域Df=（-∞，+∞），值域Rf=[0，+∞）.

例2　取整函数

y=[x]

表示不超过x的最大整数，定义域Df=（-∞，+∞），值域Rf=Z，其中Z表示整数集.

例如，[2.6]=2，[-1.3]=-2.

例3　符号函数

定义域Df=（-∞，+∞），值域Rf={-1，0，1}.

例如，对于任意实数x，有x=sgnx·|x|.

例4　狄利克雷（Dirichlet）函数

定义域Df=（-∞，+∞），值域Rf={0，1}.

以上四个函数都是分段函数.分段函数是用几个解析式合起来表示一个函数，而不是表示几个函数.

4.隐函数

若函数y可由自变量x的某一个解析式表达，例如，

则称这种函数为显函数；但还有一种形式的函数，自变量x与因变量y之间的对应法则不像上面的函数表示那样明显，而是含于一个二元方程F（x，y）=0之中，这样确定的函数y=f（x）称为隐函数.

例如，由方程xy-2x+3y-1=0确定的隐函数y=f（x），这时ｙ可以用ｘ来表示，即，把一个隐函数化成显函数，这个过程称为隐函数的显化；再如，由方程xy-ey=0确定的隐函数y=f（x），y无法用x的显函数形式来表达.

由此可见，并不是所有由方程确定的隐函数都能表示成显函数的形式.

5.函数定义域的求法

在实际问题中，函数的定义域是根据问题的实际意义确定的.若不考虑函数的实际意义，而抽象地研究用解析式表达的函数，则规定函数的定义域是使解析式有意义的一切实数构成的集合.

求函数的定义域应注意以下几点：

（1）当函数是多项式（Pn（x）=a0xn+a1xn-1+…+an）时，定义域为（-∞，+∞）；

（2）分式函数的分母不能为零；

（3）偶次根式的被开方式必须大于等于零；

（4）对数函数的真数必须大于零；

（5）反正弦函数与反余弦函数的定义域为[-1，1]；

（6）如果函数表达式中含有上述几种函数，则应取各部分定义域的交集；

（7）分段函数的定义域是各个表达式的定义域的并集.

例5　求下列函数的定义域：

解　（1）要使有意义，必须满足

即

所以函数的定义域是[-2，-1）∪（-1，1）∪（1，+∞）；

（2）要使y=ln（x-1）+arcsin有意义，必须满足

即

所以函数的定义域是{x|1<x≤2}.

例6　设函数f（x）=，求函数f（x+3）的定义域.

解　由于f（x）=

则

即

所以函数f（x+3）的定义域是[-3，-1].

例7　已知函数f（ex-1）=x3+2，求函数f（x）的定义域.

解　令t=ex-1，则x=ln（t+1），由此可得

f（t）=ln3（t+1）+2；

即

f（x）=ln3（x+1）+2.

所以函数f（x）的定义域为（-1，+∞）.