第40节 等级形式：类和关系
我们已经看到，构造一个对象必须采取一种定义的形式。这种构造定义或者是显定义或者是用法定义。如果是显定义，则被构造的对象与先前的某些对象是领域同源的，不会由此而达到一个新的“构造等级”。因此进到一个新的构造等级总是通过一种用法定义才达到的。我们通过每个用法定义指出，借助于一个新符号来描述的命题函项与仅以旧的符号来描述的命题函项具有相同的意谓。所谓“相同的意谓”是指这两个命题函项由同一些对象所满足。因为与另一命题函项外延相同的命题函项可由与前者相同的一些对象所满足，所以在用法定义中我们可用任一与前一命题函项外延相同的命题函项来替换它。因此，借助于新符号来表达的命题函项不能归入某一个别的先前已有的命题函项，而是同时归属于所有这些彼此外延相同的命题函项，换言之，它归属于这些命题函项的外延。因此，我们也可以纯粹外延地理解新的命题函项：我们把新符号作为外延符号引进来。通过导致一个新的构造等级的构造定义，我们就可根据间接定义的命题函项仅有一个或多个主目位置给类或关系下定义。类和关系因而就是构造的等级形式。我们可以算术中的例子解释这两种形式。
例子：I.类。在逻辑斯蒂中我们把基数（或幂）定义为等项的类（或“集合”）的类；如果两个类是一一对应的，它们就被称为等项的类。例如，凡是包含5个分子的类都是等项的类；以所有这些类为其分子的更高一等级的类则被称为“基数5”。根据这个定义而构造出算术就表明这个定义在形式上是无可指摘的和充分的，因为它使我们可以推导出基数的一切算术性质而不陷入矛盾。尽管如此，人们还是一再地对这个定义提出了驳难，不是从逻辑上而从直观易解的理由提出驳难。例如，世界上所有由五个分子组成的类所归属的类似乎是无穷之多、包含万有的，因而将其等同于基数5这个勾画分明的算术的创造物似乎是荒谬的。但是这个假象只是由于在想象中用相应的整体来替换类而造成的，如我们在前面已讨论过的（参阅第37节）；这种替换常常是方便有用的，但在这里却把人引入歧途。我们再回到上面这个例子：我的右手的手指的类并不是“我的右手”这个整体，所有由5个分子组成的类的类并不是由所有的手、脚、5块石头堆成的石堆等等构成的。这个无穷多的聚合作为一种算术的创造物当然是无用的。但是，我们不能说我的右手的手指的类是什么，因为这个类只是一个准对象，亦即一个独立的复合；被引进来代表它的符号本身没有任何意谓，而只是用以作出关于我右手手指的命题而无须逐一点数这5个对象，亦即关于这5个手指所共有的形状、颜色、质料等特性的命题。同样，我们也不可能说由5个分子组成的类的类本身（亦即其分子可与我右手手指的类的分子一一对应的那些类的类）是什么。它也只是一个准对象，即一个独立的复合；如果我用一个符号代表它（例如kl5），那么这个符号并不指称任何真正的对象，而只是用以做出关于这个类的分子即所有由5个分子组成的类的命题，而无须逐一点数由于无穷之多实际也无法点数的这些类。这样，如果kl5是一个可使我们做出关于所有由5个分子组成的类所共有的属性的命题的符号，那么把它和算术符号“5”（代表基数）区别开来的又是什么呢？基数5像类kl5一样也是一个准对象，5这个符号也不指称任何真正的对象，而只是用以作出关于所有可能由5个分子组成的类所共有的一切属性的命题。由此我们看到，上述基数定义并不像人们以为的那样是以另外一个按一定程式构造出来而与基数有某种形式上的类似的东西替换基数，而是这个定义恰好适合于算术概念；只是由于那种从未道出却经常潜在的以类为整体的错误观点才把这个事实弄模糊了。
参考文献 上述关于基数的定义最早是由弗雷格提出来的（《算术基础》，第79页以下；《算术基本法则》，第1卷，第57页）。罗素在1901年独立地重新发现了这个定义并应用于数学基础（《数学的原理》，第114页，《我们关于外间世界的知识》，第199页以下，《数理哲学导论》，第11页，《数学原理》，第1卷）。
对这个定义提出前述那类驳难的有豪斯多尔夫（《集合论原理》，第2版，柏林和莱比锡，1927年，第46页），J·柯尼希（《逻辑、算术和集合论的新基础》，莱比锡，1914年，第226页注），参阅弗兰克尔：《集合论导论》（柏林，1928年，第3版第44页）。早期的罗素尽管提出了“无类论”，但在他尽可能要同语言的使用保持一致时至少没有十分明确地拒绝把类视为整体的观点（《数学原理》，《我们关于外间世界的知识》，第126页）；现在他已坚决地强调类和“堆或堆积”（用我们的话说即整体或聚合）的区别（《数理哲学导论》，第184页），不过他认为，仅仅为了用这个基数定义得到一个确定而不含糊的概念，他不得不承受这个定义带有的一点奇特之处（《数理哲学导论》，第18页）。我们的观点和韦尔的观点（“数学和自然科学的哲学”）是一致的。
例子：2．关系。前面已经看到，分数可还原为自然数，因而应被视为自然数的复合。而且分数是独立的复合，即准对象，因为它们可被定义为自然数间的关系。例如，“2/3=
（x和y是自然数，其关系为3x=2y）”。