第35节　可还原性；构造

在前面第2节中我们曾借助关于命题“转换”的不甚精确的概念对可还原性的概念作过说明。现在我们必须更精确地把握“转换”的涵义；为此我们现在要借助于关于命题函项的外延相同性（或普遍等值）概念（第32节）。“仅仅关于对象a、b……”的命题或命题函项，我们是指其文字表达式中只有“a”、“b”……作为非逻辑符号出现的那些命题或命题函项；其中也可出现逻辑常项（第107节）和一般变项。如果每一仅仅关于对象a、b、c……的命题函项（其中也可能没有b、c……）都相应有一个仅仅关于对象b、c……的外延相同的命题函项，那么我们就称a“可还原”为b、c……因此我们可以简略地说：如果关于某一对象的一切语句都可翻译为仅仅谈论其他一些对象的语句，那么我们就说这个对象“可还原”为其他一些对象。

下面这种情况是更简单但更重要的，即在要被还原的一个对象的命题函项中只有这个对象而没有其他对象出现。

例子：“x是一个素数”与“x是一个仅有1和其自身为除数的自然数”是外延相同的。因此素数这个对象（或概念）就还原为自然数、1、除数这些对象。

前面第2节中解释过的构造概念现在也需要做更精确的规定。从其他概念来“构造”一个概念，意即根据其他概念来指明这个概念的“构造定义”。根据概念b、c对概念a所下的“构造定义”，我们是指一种翻译规则，这种规则一般都指出每一包含a的命题函项如何能被转换为一个其中只有b、c而a不复出现的外延相同的命题函项。在最简单的情况下，这样一种翻译规则就是指导我们在凡是有a出现的地方就用一个只包含b，c的表达式来替换a（“显”定义）。

如果一个概念可还原为其他一些概念，那么它原则上必可由这些概念构造出来。但是知道它的可还原性并不意味着就知道它的构造。因为为所有关于这个概念的命题提出一个普遍的转换规则还是一个单独的任务。

例子：分数可还原为自然数，是很容易看出的，关于某个分数的一个命题也可以很容易地被转换为一个关于自然数的命题（参见第2节）。反之，构造分数2/7，亦即指出一个能据以将关于2/7的命题转换为关于2和7的命题的普遍规则，则是比较困难的（参阅第40节）。怀特海和罗素解决了所有数学概念的构造问题（《数理原理》）；这样他们就给出了一个数学概念的“构造系统”。