1.5　控制系统的过渡过程及其性能指标

处于平衡状态下的自动控制系统受到干扰作用后，被控变量会发生变化而偏离给定值，系统进入过渡过程。自动控制系统的作用就是检测变化、计算偏差并消除偏差。在这一过程中，被控变量的变化情况、偏离给定值的最大程度以及系统消除偏差的速度、精度等都是衡量自动控制系统控制质量的依据。

1.5.1　控制系统的过渡过程

从被控对象受到干扰作用使被控变量偏离给定值时起，控制器开始发挥作用，使被控变量回复到给定值附近范围内。然而这一回复并不是瞬间完成的，而是要经历一个过程，这个过程就是控制系统的过渡过程。它是控制系统在闭环情况下，在干扰和自动控制的共同作用下形成的。

在生产过程中，干扰的形式是多种多样的，而且大部分都属于随机性质，其中阶跃干扰（图1-11）对控制系统的影响最大，且最为多见。例如负荷的变化、直流电路的突然断开或接通、阀门的突然变化等。因此，本书只讨论在阶跃干扰影响下控制系统的过渡过程。

阶跃输入信号的数学表达式为：

　　 （1-2）

在阶跃干扰的作用下，控制系统的过渡过程有如图1-12所示的几种基本形式。

①发散振荡过程　如图1-12（a）所示，它表明系统在受到阶跃干扰的作用后，不但不能使被控变量回到给定值，反而越来越偏离给定值，以致超出生产的规定限度，严重时引起事故。这是一种不稳定的过渡过程，因此要尽量避免。

②等幅振荡过程　如图1-12（b）所示，被控变量在某稳定值附近振荡，而振荡幅度恒定不变。这意味着系统在受到阶跃干扰作用后，就不能再稳定下来，一般不采用。只有对于某些工艺上允许被控变量在一定范围内波动的、控制质量要求不高的场合，才采用这种形式的过渡过程。

③衰减振荡过程　如图1-12（c）所示，被控变量在稳定值附近上下波动，经过二三个周期就稳定下来。这是一种稳定的过渡过程，在过程控制中，多数情况下都希望得到这样的过渡过程。

④非振荡的单调过程　如图1-12（d）所示，它表明被控变量最终稳定下来了，是一个稳定的过渡过程。但与衰减振荡相比，其回复到平衡状态的速度慢、时间长，因此一般不采用。

综上所述，一个自动控制系统的过渡过程，首先应是一个渐趋稳定的过程，这是满足生产要求的基本保证；其次，在大多数场合下，应是一个衰减振荡的过程。

1.5.2　控制系统的性能指标

衰减振荡的过渡过程是人们所希望得到的一种稳定过程。它能使被控变量在受到干扰作用后重新趋于稳定，并且控制速度快、回复时间短。但每一个衰减振荡过程的控制质量并不完全相同。要评价和讨论一个控制系统性能的优劣，就必须建立某些统一的衡量标准。取什么样的指标作为衡量标准是根据工艺过程的实际需要而定的。不过，通常采用如下的两大类标准。

一类是以系统受到单位阶跃输入作用后的响应曲线（又称过渡过程曲线）的形式给出的，如最大偏差（或超调量）、衰减比、余差、回复时间等，称为过渡过程的质量指标；另一类是偏差积分性能指标，一般是希望输出与系统实际输出之间误差的某个函数的积分，常用的有平方误差积分指标（ISE）、时间乘平方误差的积分指标（ITSE）、绝对误差积分指标（IAE）以及时间乘绝对误差的积分指标（ITAE）等，这些值达到最小值的系统是某种意义下的最优系统。

下面对这些指标分别进行讨论。

（1）以阶跃响应曲线形式表示的质量指标

图1-13分别表示出一个定值控制系统和随动控制系统在受到阶跃干扰作用后的衰减振荡过渡过程曲线。对于定值系统与随动系统，由于输入作用于系统的位置不同，故阶跃响应也有所区别。对于定值系统，其响应曲线如图1-13（a）所示，由于给定值不变，因此被控变量总是围绕着过程的初始值变化；而对于随动系统，其特性曲线如图1-13（b）所示，由于给定值的变化是主要输入作用，整个过渡过程始终围绕这个变化了的给定值而波动。由于这种差别，它们所采用的质量指标定义也有所不同，这将在下面的讨论中分别介绍。

①最大偏差A（或超调量σ）　对一个定值控制系统来说，最大偏差是指过渡过程中被控变量第一个波的峰值与给定值的差，如图1-13（a）中的A；在随动控制系统中，通常采用另一个指标——超调量σ

　　 （1-3）

②衰减比n　是过渡过程曲线上同方向的相邻两个波峰之比，即B1∶B2，一般用n∶1表示。显然n越小，衰减程度越小。当n=1时，过渡过程为等幅振荡；n<1时，过渡过程则为发散振荡。反之，n越大，过渡过程越接近非周期的单调过程，n>1时，过渡过程为衰减振荡；当n→∞，过渡过程为单调过程。n值究竟多大为合适，没有严格的规定。从便于操作管理，过程进行又有适当的速度这两方面综合考虑，一般希望衰减比在4∶1～10∶1之间为好，中国多习惯采用4∶1。虽然4∶1的衰减过程并不是最优过程，但却是操作人员所希望的过程。

③回复时间ts　也称过渡时间或调整时间，是指被控变量从过渡状态回复到新的平衡状态的时间间隔，即整个过渡过程所经历的时间，如图中的ts。从理论上讲，被控变量完全达到新的稳定状态需要无限长的时间，但通常在被控变量进入新稳态值的±5%（或±2%）的范围内不再超出时，就认为被控变量已达到新的稳态值。因此，实际的过渡时间是从扰动开始作用之时起，直至被控变量进入新稳态值的±5%（或±2%）的范围内所经历的时间。

④余差e（∞）　是指过渡过程终了时，被控变量新的稳态值与设定值之差。即e（∞）=c（∞）-cs，cs为设定值。它虽不是过渡过程的动态指标，但却是很重要的质量指标。在控制系统中，余差反映了系统的控制精度：余差越小，精度越高，控制质量就越好。在实际过程控制中，余差的大小只要能满足生产工艺要求即可。

⑤振荡周期T　过渡过程的第一个波峰与相邻的第二个同向波峰之间的时间间隔称为振荡周期（或称工作周期），其倒数称为振荡频率。在相同的衰减比条件下，振荡周期与过渡时间成正比。因此，振荡周期短些为好。

（2）偏差积分性能指标

假若要对几种过渡过程曲线作出谁是“最优”的评论，则必须首先规定“最优”的性能指标。这种指标与过渡过程形式代表的质量指标不同，它应是系统动态特性的一种综合性能指标，这样才能对整个过渡过程曲线的形状作评价。一般采用误差函数的积分形式表示。下面介绍其中四种常用的形式。

首先，假定控制系统希望输出与实际输出分别为r（t）和c（t），则定义误差（又称偏差）e（t）为

e（t）=r（t）-c（t）　　 （1-4）

当系统有余差时，可定义

e（t）=c（∞）-c（t）　　 （1-5）

即这里的误差不包括系统的稳态误差。

平方误差积分指标（ISE）

　　 （1-6）

时间乘平方误差积分指标（ITSE）

　　 （1-7）

绝对误差积分指标（IAE）

　　 （1-8）

时间乘绝对误差积分指标（ITAE）

　　 （1-9）

下面对这些指标作一些讨论。

ⅰ.IAE指标在图形上也就是偏差面积积分。这种指标，对出现在设定值附近的偏差面积与出现在远离设定值的偏差面积是同等对待的。而ISE指标，却对同一偏差面积由于离设定值远近不同引起的目标值J是不一样的：对远离者目标值J要大些，对临近者要小些。所以说，ISE相对于IAE而言，前者对大偏差敏感。若用ISE指标来调整控制器参数，则所得到的过渡过程不会出现大偏差，当然其他的指标将会有所下降。

ⅱ.时间乘绝对误差积分指标（ITAE），实质上是把偏差面积用时间来加权。同样的偏差积分面积，由于在过渡过程中出现时间的先后不同，其目标值J是不同的。出现的时间越迟，目标值J越大；出现的越早，J值越小。所以说，ITAE指标对初始偏差不敏感，而对后期偏差非常敏感。可以想象，若用ITAE指标来调整控制器参数，其过渡过程的初始偏差较大，而随着时间的推移，偏差将很快降低。这意味着，它的阶跃响应曲线将会出现较大的最大偏差（或超调量），但过渡时间较短。

ⅲ.时间乘平方误差积分指标（ITSE）兼有ISE指标和ITAE指标的特点，用它来调整控制器参数，可以得到比较理想的结果。

实际上，控制系统的各种性能指标是彼此相关、相互约束的，不可能出现同时都是最好的情况。确定性能指标时应主要看能否满足工艺的要求，如对于定值控制系统，一般要求被控变量最大偏差小、尽可能快地回复到给定值；对于随动控制系统，要求被控变量以一定精度快速跟上给定值的变化，因此希望超调量小、控制时间尽可能短。

1.5.3　自动控制系统性能的基本要求

自动控制系统的基本任务是：根据被控对象和环境的特性，在各种干扰因素作用下，使系统的被控变量能够按照预定的规律变化。例如对于恒值系统来说，就要求系统的被控变量维持在期望值附近。无论是哪类控制系统，对其性能的基本要求都是相同的，可以归结为稳定性、准确性和快速性，即稳、准、快的要求。

①稳定性　是决定一个控制系统能否实际应用的首要条件。对于稳定的系统来说，当系统受到干扰的作用或者输入量发生变化时，被控变量就会发生变化，偏离给定值。由于控制系统中一般都含有储能元件或惯性元件，而储能元件的能量不可能突变，因此，被控变量不可能马上恢复到期望值，而是要经过一定的过渡过程，才能从原来的平衡状态达到一个新的平衡状态。不稳定的系统是无法使用的，系统激烈而持久的振荡会导致功率元件过载，甚至使设备损坏而发生故障，这是绝对不允许的。

②准确性　是衡量系统稳态精度的重要指标。对于一个稳定的系统而言，当瞬态过程结束后，系统的稳态误差要尽可能地小，即希望系统具有较高的控制准确度或控制精度。

③快速性　为了很好地完成控制任务，控制系统仅仅满足稳定性要求是不够的，还必须对其瞬态过程的形式和快慢提出要求，一般称为瞬态性能。通常希望系统的瞬态过程既要快又要平稳。

对照过渡过程的品质指标分析：衰减比说明稳定性，动态与稳态偏差说明准确性，过渡时间与频率说明快速性。但上述这几个指标常常是互相矛盾，互相制约的。一般来讲，抑制动态偏差，就会产生比较强的波动；要求稳态偏差小，相应的过渡时间就要长些。所以不能片面地追求某一指标，而应该结合具体生产过程及其要求来综合考虑，使各个指标都能达到一个较为理想的数值。