第二节　平面与立体相交

平面与立体表面的交线称为截交线。与立体相交的平面称为截平面，由截交线所围成的平面图形称为截断面。

一、平面与平面立体相交

平面立体的截交线是一个多边形，多边形的顶点是平面立体的棱线或底边与截平面的交点，多边形的边是截平面与平面立体表面的交线，如图3-9（a）所示。

截交线具有如下性质：

（1）表面性。截交线是截平面与立体表面的交线，因此截交线均在立体表面上。

（2）共有性。截交线是截平面与立体表面的共有线。它既在截平面上又在立体表面上，截交线上的点，均是截平面与立体表面的共有点。

（3）封闭性。因立体表面是封闭的，故截交线一般情况下都是封闭的平面图形。

【例3-1】　求作如图3-9所示四棱锥被正垂面截切后的三面投影。

分析：如图3-9（a）所示，因截平面P与四棱锥四个侧棱面相交，所以截交线为四边形，它的四个顶点即为四棱锥的四条棱线与截平面P的交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ。因为P平面是正垂面，所以截交线四边形的四个顶点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的正面投影1'、2'、（3'）、（4'） 重合在P平面有积聚性的投影上。

作图方法和步骤如下：

（1）如图3-9（b）所示，由1'、2'、（3'）、（4'）利用直线上点的从属性可求出1、2、3、4和1″、2″、3″、4″。

（2）将各顶点的水平投影1、2、3、4和侧面投影1″、2″、3″、4″依次连接起来，即得截交线的水平投影和侧面投影，如图3-9（b）所示。

（3）处理轮廓线，如图3-9（b）所示，各侧棱线以交点为界，擦去切除一侧的棱线，并将保留的轮廓线加深为粗实线。

【例3-2】　补画如图3-10（a）所示五棱柱切割体的左视图。

分析：如图3-10（a）所示，五棱柱被正垂面P及侧平面Q同时截切，因此，要分别求出P平面及Q平面与五棱柱的截交线的投影。P平面与五棱柱的四个侧棱面及Q平面相交，其截断面的空间形状为平面五边形；Q平面与五棱柱的顶面、两个侧棱面及P平面相交，其截断面的空间形状为矩形。补画左视图时，应在画出五棱柱左视图的基础上，正确画出各截断面的投影。

作图方法和步骤如下：

（1）画出五棱柱的左视图，如图3-10（b）所示。

（2）求作各截断面投影。

①求作正垂面P的投影。如图3-10（c）所示，由于P平面为正垂面，截交线的投影与正垂面的积聚投影重合。利用正垂面的积聚投影，在主视图上依次标出正垂面P与五棱柱棱线的交点1'、2'、5'及与Q平面交线的端点3'、（4'）的投影，同理，由于五棱柱各棱面的水平投影及Q平面的水平投影都有积聚性，截交线的水平投影与五棱柱侧棱面及Q平面的积聚投影重合。可利用积聚投影确定五边形各顶点的水平投影1、2、3、4、5，根据正面投影和水平投影，可求出截交线各顶点的侧面投影1″、2″、3″、4″、5″，依次连接各顶点即为截交线的侧面投影。

②求作侧平面Q的投影。如图3-10（d）所示，由于Q平面为侧平面，与其相交的两个棱面分别为铅垂面和正平面，因此其交线均为铅垂线，它们的水平投影分别积聚在3、4两点，侧面投影为两段竖直线段。五棱柱的顶面为水平面，Q平面与其交线为正垂线，其水平投影与3、4重合，侧面投影与五棱柱顶面的积聚投影重合。四边形的另外一条边为Q平面与正垂面的交线，已在图3-10（c）中求得。由此求得Q平面与五棱柱交线的侧面投影。

（3）处理轮廓线，如图3-10（e）所示。处理轮廓线时，由于五棱柱左侧棱线，在P平面以上的部分被截切，因此在侧面投影上棱线的这些部分不应再画出，右前侧棱线由于不可见，应画虚线。其他侧棱线以交点为界，擦去切除一侧的棱线，并将所有轮廓线加深为粗实线。

【例3-3】　补画如图3-11（a）所示切槽四棱台的俯视图。

分析：如图3-11（a）所示，该形体为带切口的四棱台，其切口由一个水平面和两个侧平面切割而成。水平面与四棱台前、后表面（侧垂面）及两个侧平面相交，截断面为矩形。两个侧平面左右对称，与四棱台前、后表面，四棱台顶面及水平面相交，由于四棱台前、后对称，故截断面为等腰梯形。补画俯视图时，应在画出四棱台俯视图的基础上，正确画出各截断面的投影。

作图方法和步骤如下：

（1）画出四棱台的俯视图，如图3-11（b）所示。

（2）求作截交线。由于水平面与四棱台顶面、底面平行，因此其与四棱台各侧面产生的交线也一定与四棱台顶面、底面的边线平行。在主视图上延长水平面的积聚投影，使其与四棱台左前侧棱线得交点a'，利用直线上点的从属性求出其俯视图上点a，并根据平行线的投影规律作出矩形。再由主视图画投影连线确定水平面与四棱台侧面交线的水平投影。两个侧平面在俯视图中的投影均积聚为直线段，其长度可由水平面的交线端点B、C来确定。作图结果如图3-11（c）所示。

（3）检查、加深图线，由于切槽时，四棱台底面及4条侧棱线均没有被切割，应加深为粗实线，四棱台上台面部分棱线被切割，将其擦除，其余部分画成粗实线，如图3-11（d）所示。

二、平面与曲面立体相交

平面与曲面立体相交，其截交线通常是一条封闭的平面曲线，或由曲线与直线所围成的平面图形，特殊情况下为平面折线。截交线的形状与曲面体的形状及截断面的截切位置有关。圆柱体的截交线有三种不同的形状，见表3-1。圆锥体的截交线有五种不同的形状，见表3-2。球体被切割截交线始终为圆，根据截平面与投影面的相对位置不同，投影可能为圆或椭圆，见表3-3。

熟练掌握各种回转体的投影特性，以及截交线的形状，是绘制复杂形体投影图必备的基础知识。对于表3-1～表3-3中各种形状的截交线，当截交线的投影为平面多边形或圆时，可使用尺规直接作出其投影；当截交线投影为椭圆、双曲线或抛物线时，则需先求出若干个共有点的投影，然后用曲线将它们依次光滑地连接起来，作出截交线的投影。

【例3-4】　补全如图3-12所示接头的主视图和俯视图。

分析：如图3-12（a）所示，接头的左端槽口可以看成圆柱被两个与轴线平行的正平面和一个与轴线垂直的侧平面切割而成；右端凸榫由两个与轴线平行的水平面和一个与轴线垂直的侧平面切割而成。可由表3-1查得各段截交线分别为直线和圆弧。

作图方法和步骤如下：

（1）补画主视图左侧圆柱切槽部分的投影。左端槽口的两个正平面与圆柱体轴线平行，其截交线是四条侧垂线，其在左视图上积聚成点，位于圆柱面有积聚性的侧面投影上，可由侧面投影求得其正面投影，如图3-12（b）所示；侧平面在主视图中投影积聚为一直线，其中被遮挡的部分应画成虚线；由俯视图可知，侧平面将圆柱的最上、最下两条素线截去一段，所以在主视图中，其转向轮廓素线的左端应截断。结果如图3-12（b）所示。

（2）补画俯视图右侧圆柱凸榫部分的投影。切割圆柱右端凸榫的两个水平面与圆柱体的轴线平行，截交线为直线，可由左视图量取y值，求得其俯视图中的投影；侧平面在俯视图中积聚为直线段，如图3-12（c）所示。由于侧平面没有截切到圆柱面的最前、最后两条素线，其在俯视图中的积聚投影与转向轮廓素线之间有一定的距离，故在俯视图中转向轮廓素线是完整的。

【例3-5】　补全如图3-13（a）所示顶尖的俯视图。

分析：如图3-13（a）所示，顶尖由圆锥、小圆柱、大圆柱同轴连接，其上切口部分可以看成被水平面和正垂面截切而成。由表3-1和表3-2可知水平面与圆锥的轴线平行，其截交线为双曲线，与大小圆柱的轴线平行，截交线是四条侧垂线。正垂面只截切到大圆柱的一部分，且与轴线倾斜，交线为椭圆弧（见表3-1）。作图时，应分段画出截交线的投影，并整理画出所有轮廓线的投影。

作图方法和步骤如下：

（1）由水平面切割产生的截交线在主视图和左视图中分别积聚在水平面的积聚投影上，可由主视图和左视图求出其在俯视图中的投影。

①求作圆锥面的交线——双曲线。如图3-13（b）所示，先求双曲线上的特殊点，顶点Ⅰ和端点Ⅱ、Ⅲ。顶点Ⅰ在圆锥的最上轮廓素线上，端点Ⅱ、Ⅲ两点是圆锥面与小圆柱面交线上的点，先在主视图上确定1'、2'和（3'），对应找出其左视图上1″、2″、3″，利用点的投影规律可求出Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ各点在俯视图中的投影1、2、3。再求一般点。与求特殊点一样，先在主视图上确定其位置，如图3-13（b）中在1'、2'（3'）之间找一两个一般点。利用纬圆法在圆锥面上求出该点的侧面投影。用曲线光滑连接各点，即可在俯视图中画出双曲线。

②求作水平面与大小圆柱面的交线——侧垂线。如图3-13（c）所示，如前面分析，水平面与大小圆柱面的交线为侧垂线，侧垂线在主视图上2'（4'）与（3'）（5'）重合，6'8'与（7'）（9'）重合，在左视图上分别积聚为点2″（4″）、3″（5″）、6″（8″）、7″（9″），可由左视图中分别量取y3、y1值，对照主视图中位置，作出其俯视图上的投影，结果如图3-13（c）所示。

（2）如图3-13（a）中立体图所示，正垂面与大圆柱面的交线为椭圆弧，主视图在正垂面的积聚投影上，左视图在大圆柱面的积聚投影上，可利用圆柱表面找点的方法求其俯视图中的投影，作图步骤如图3-13（d）所示。

（3）检查、加深轮廓线。俯视图中，水平面之上部分被切断，处于水平面下方的部分不可见，应画成虚线，其余部分画实线，如图3-13（e）所示。