第三节　点、直线、平面的投影

一、点的投影

一切几何物体都可看成是点、线、面的组合。点是最基本的几何元素，研究点的投影作图规律是表达物体的基础。

1.点的三面投影图

将空间点A置于三投影面体系中，由点A分别作垂直于V、H和W面的投射线，与V、H和W面相交，得到点A的正面（V面）投影a'、水平（H面）投影a和侧面（W面）投影a″。关于空间点和其投影的标记规定为：空间点用大写字母A、B、C……表示，水平投影用相应小写字母a、b、c……表示，正面投影用相应小写字母右上角加一撇a'、b'、c'……表示，侧面投影用相应小写字母右上角加两撇a″、b″、c″……表示，如图2-13（a）所示。三投影面体系展开后，点的三面投影图如图2-13（b）所示。

如图2-13（b）所示，点的三个投影之间应符合“长对正、高平齐、宽相等” 的对应关系，即：

a'a⊥OX，即点的V面和H面投影连线垂直于OX轴；

a'a″⊥OZ，即点的V面和W面投影连线垂直于OZ轴；

aaX=a″aZ，点A的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离。

【例2-3】　如图2-14（a）所示，已知点A的两面投影a、a'，求a″。

作图：

（1）过a'作OZ轴垂线，交OZ轴于aZ并延长，如图2-14（b）所示。

（2）过a作YH的垂线，并延长与45°分角线相交，再由交点作YW的垂线，并延长与a'aZ的延长线相交，得到的交点即为a″，如图2-14（c）所示。

2.点的坐标

将投影轴OX、OY、OZ看成坐标轴，则空间点A可由坐标表示为A（XA，YA，ZA），如图2-15所示。

点的坐标值反映点到投影面的距离。在图2-15（a）中，空间点A的每两条投射线分别确定一个平面，各平面与三个投影面分别相交，构成一个长方体。长方体中每组平行边分别相等，所以有：

X=a'aZ=aaYH=Aa″（点A到W面的距离）；

Y=a=a″aZ=Aa'（点A到V面的距离）；

Z=a'aX=a″aYW=Aa（点A到H面的距离）。

利用坐标和投影的关系，可以画出已知坐标值的点的三面投影，也可由投影量出空间点的坐标值。

【例2-4】　已知点A（15，10，20），求作点A的三面投影。

作图：

（1）画出投影轴OX、OYH、OYW、OZ，如图2-16（a）所示。

（2）在OX轴上向左量取15得aX，过aX作OX轴垂线，并沿其向上量取20得a'，向前量取10得a，如图2-16（b）所示。

（3）根据a'、a，按点的投影规律求出第三投影a″，如图2-16（c）所示。

3.两点的相对位置和重影点

如图2-17所示，两点的X、Y、Z坐标差，即这两点对投影面W、V、H的距离差，在投影图中所反映两点的左右、前后、上下三个方向的位置关系：

两点的左右相对位置由X坐标来确定，X坐标大者在左方；

两点的前后相对位置由Y坐标来确定，Y坐标大者在前方；

两点的上下相对位置由Z坐标来确定，Z坐标大者在上方。

图2-17所示空间两点A、B，在投影图中，由于点A的X坐标大于点B的X坐标，故点A在点B的左方；点A的Y坐标小于点B的Y坐标，故点A在点B的后方；点A的Z坐标小于点B的Z坐标，故点A在点B的下方，因此可以判断出点A在点B的左、后、下方。

当空间两点处于某一投影面的同一投射线上时，它们在该投影面上的投影重合，这两点称为该投影面的重影点。如图2-18所示，A、B两点，XA=XB，ZA=ZB，因此，它们的正面投影a'和b'重合为一点，为正面重影点，由于YA>YB，所以从前向后看时，点A的正面投影为可见，点 B的正面投影为不可见，不可见投影点加括号表示，即（b'）。又如C、B两点，XC=XB，YC=YB，因此，它们的水平投影c、（b）重合为一点，为水平重影点。由于ZC>ZB，所以从上向下看时，点C的水平投影为可见，点 B的水平投影为不可见。再如D、B两点，YD=YB，ZD=ZB，因此，它们的侧面平投影d″、（b″）重合为一点，为侧面重影点。由于XD>XB，所以从左向右看时，点D的侧面投影为可见，点 B的侧面投影为不可见。

二、直线的投影

直线一般用线段表示，如图2-19（a）所示，求作空间直线的三面投影，可先求得线段两端点的三面投影，如图2-19（b）所示，然后将其同面投影用粗实线连接，就得到直线的三面投影，如图2-19（c）所示。

（一）各种位置直线的投影特性

根据直线与投影面的相对位置不同，将其分为三类：投影面平行线、投影面垂直线和一般位置直线。前两类又统称为特殊位置直线。直线与投影面的夹角称为直线对投影面的倾角，通常直线对投影面H、V、W的倾角分别用字母α、β、γ表示。下面介绍各种位置直线的投影特性。

1.投影面平行线

平行于一个投影面与另外两个投影面倾斜的直线称为投影面平行线。平行于V面称为正平线；平行于H面称为水平线；平行于W面称为侧平线。表2-1列出了三种投影面平行线的直观图、投影图及其投影特性。

投影面平行线的投影特性归纳如下：

（1）直线在所平行的投影面上的投影反映实长，实长与投影轴的夹角反映直线与另外两个投影面的倾角。

（2）直线在另外两个投影面上的投影长度都短于实长，并且平行于相应投影轴。

对于投影面平行线，画图时，应先画出反映实长的那个投影（斜线），然后按投影关系画其两个与轴线平行的投影。读图时，如果直线的三面投影中有一个投影与投影轴倾斜，另外两个投影与相应投影轴平行，则该直线必定是投影面平行线，且平行于投影为斜线的那个投影面。

【例2-5】　如图2-20（a）所示，过点A作水平线AB，使AB = 25，且与V面的倾角β =30°。

作图：

（1）根据点的投影规律，先求得点A的W面投影a″。

（2）由投影面平行线的投影特性可知，水平线的H投影ab与OX轴的夹角为β，且反映实长，也就是ab=AB。过点a作与OX轴夹角β=30°的直线，并在直线上量取ab=25，即可求得b，如图2-20（b）所示。

（3）根据水平线的投影特性，水平线的V、W面投影分别平行于OX轴和OYW轴，分别过a'和a″作a'b'∥OX、a″b″∥OYW，求得b'、b″；再用直线连接，即求得水平线AB的三面投影，如图2-20（c）所示。

2.投影面垂直线

垂直于一个投影面（必平行于另外两个投影面）的直线称为投影面垂直线。垂直于V面称为正垂线；垂直于H面称为铅垂线；垂直于W面称为侧垂线。表2-2列出了三种投影面垂直线的直观图、投影图及其投影特性。

投影面垂直线的投影特性归纳如下：

（1）直线在所垂直的投影面上的投影积聚成一点。

（2）直线在另外两个投影面上的投影反映线段实长，且垂直于相应投影轴。

对于投影面垂直线，画图时，一般先画积聚为点的那个投影，然后按投影关系画出反映

实长的两个投影。读图时，如果直线的三面投影中有一个投影积聚为一点，则直线为该投影面的垂直线。

3.一般位置直线

与三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线，如图2-19所示。

一般位置直线的投影特性归纳如下：

（1）三个投影都与投影轴倾斜。

（2）三个投影的长度都短于实长。

（3）投影与投影轴的夹角不反映直线与投影面的倾角。

（二）直线上点的投影特性

点在直线上，则点的投影在直线的同面投影上（从属性），并将直线段的各个投影长度分割成和空间长度相同的比值（定比性），如图2-21所示，AC∶CB =a'c'∶c'b'=ac∶cb。

判断点是否在直线上，对于一般位置直线只判断直线的两个投影即可，如图2-22（a）所示。若直线是投影面平行线，且没有给出直线的实长投影，则需求出实长投影进行判断，或采用直线上点的定比性来判断，如图2-22（b）所示。若直线是投影面垂直线，则在直线所垂直的投影面上点的投影必和直线的积聚投影重合，如图2-22（c）所示。

【例2-6】　如图2-23（a）所示，已知点C在直线AB上，且点C分AB为AC∶CB=1∶4，求点的投影。

分析：根据直线上点的投影特性，首先将直线AB的任一投影分割成1∶4，求得点C的一个投影，然后利用从属性，在直线AB上求出点C的其余投影。

作图：

（1）过点a'作任意直线，截取5个单位长度，连接5b'。过1作5b'平行线，交a'b'于c'，如图2-23（b）所示。

（2）过c'作投影连线，与ab交点为c，与a″b″交点为c″，即为所求，如图2-23（c）所示。

（三）两直线的相对位置

两条直线的相对位置有三种情况：平行、相交和交叉。前两种称为同面直线，后一种称为异面直线。下面分别讨论它们的投影特性。

1.两直线平行

若空间两直线相互平行，则它们的同面投影必相互平行，且两条直线的投影长度比等于空间长度比，如图2-24（a）所示。反之，若两直线的同面投影都相互平行，则两直线在空间必相互平行，如图2-24（b）所示。

在投影图中判断两直线是否平行的方法如下：

（1）对于一般位置直线，根据两面投影判断即可。如图2-25（a）所示，直线AB和CD是一般位置直线，给出的两面投影均相互平行，即ab∥cd、a'b'∥c'd'，可以判定空间也相互平行，即AB∥CD。

（2）对于投影面平行线，需判断直线的实长投影是否平行，否则仅根据另两投影的平行不能确定它们在空间是否平行。在图2-25（b）中，侧平线AB和CD，虽然ab∥cd、a'b'∥c'd'，但不能确定AB和CD是否平行，还需要画出它们的侧面投影，才可以得出结论。由于a″b″与c″d″不平行，所以AB与CD不平行。

2.两直线相交

空间两直线相交，则它们的同面投影相交，且交点符合点的投影规律。

图2-26中，直线AB和CD相交于点K，因点K是两条直线的共有点，所以k既属于ab又属于cd，即k为ab和cd的交点。同理，k'是a'b'和 c'd'的交点，k″是a″b″和 c″d″的交点，因为k、k'、k″为空间一点的三面投影，所以应符合点的投影规律。

在投影图中判断两直线是否相交的方法如下：

（1）对于一般位置直线，根据两面投影判断即可，如图2-27（a）所示，a'b'与c'd'相交，ab与cd相交，且k'k⊥OX轴，可判断AB和CD相交。

（2）当两直线中有一条直线是投影面平行线时，应根据该直线在所平行的投影面内的投影来判断。在图2-27（b）中，直线AB和侧平线CD的水平投影、正面投影均相交，但不能确定它们在空间是否相交，还需画出它们的侧面投影a″b″ 、c″d″ 才能得出正确结论。从图中可知，正面投影的交点和侧面投影“交点”的连线不垂直于OZ轴，也就是交点不符合点的投影规律，所以直线AB与侧平线CD不相交。

3.两直线交叉

空间两直线既不平行也不相交，称为交叉两直线。交叉两直线的各面投影既不符合平行两直线的投影特性，又不符合相交两直线的投影特性。图2-27（b）所示直线为交叉两直线。

三、平面的投影

（一）平面的表示方法

1.用几何元素表示平面

平面的几何元素表示法有以下几种：

（1）不在同一直线上的三点；

（2）一直线和直线外一点；

（3）平行两直线；

（4）相交两直线；

（5）平面图形。

分别画出这些几何元素的投影就可以确定一个平面的投影，如图2-28所示。

2.用迹线表示平面

平面与投影面的交线称为平面的迹线，如图2-29所示。平面P与H面的交线称为平面的水平迹线，用PH标记；平面P与V面的交线称为平面的正面迹线，用PV标记。

因为PV位于V面内，所以它的正面投影和它本身重合，它的水平投影和OX轴重合，为了简化起见，我们只标注迹线本身，而不再用符号标出它的各个投影。图2-29（a）为一般位置平面的迹线表示法；图2-29（b）为铅垂面的迹线表示法；图2-29（c）为水平面的迹线表示法。

（二）各种位置平面的投影特性

根据平面与投影面的相对位置不同，将其分为三类：投影面垂直面、投影面平行面和一般位置平面。前两类又统称为特殊位置平面。通常平面对投影面H、V、W的倾角分别用字母α、β、γ表示。下面介绍各种位置平面的投影特性。

1.投影面垂直面

垂直于一个投影面而与另外两个投影面倾斜的平面称为投影面垂直面。垂直于V面称为正垂面；垂直于H面称为铅垂面；垂直于W面称为侧垂面。表2-3列出了这三种投影面垂直面的立体图、投影图及其投影特性。

投影面垂直面的投影特性归纳如下：

（1）平面在所垂直的投影面上的投影，积聚成一斜线。积聚投影与两投影轴的夹角反映平面与另外两个投影面的倾角。

（2）平面在另外两个投影面上的投影有类似性。

对于投影面垂直面，画图时，应注意两个具有类似性的投影应边数相等、曲直相同、凹凸一致。读图时，如果平面的三面投影中有一个投影积聚成一斜线，另外两个投影为类似形，则该平面必定是投影面垂直面，且垂直于投影积聚为斜线的那个投影面。

【例2-7】　如图2-30（a）所示，平面图形P为正垂面，已知P面的水平投影p及其上顶点Ⅰ的V面投影1'，且P对H面的倾角α=30°，试完成该平面的V面和W面投影。

分析：因P平面为正垂面，其V面投影积聚成一斜直线，此倾斜直线与OX轴的夹角即为α角。正垂面的侧面投影为类似形，可首先根据水平投影和正面投影求出平面各顶点的侧面投影，顺次连接即得平面的侧面投影。

作图：

（1）过1'作与OX轴倾斜30°的斜线，根据H面投影确定其积聚投影长度，结果如图2-30（b）所示。

（2）在水平投影中标注五边形其余四个顶点的标记2、3、4、5，分别过2、3、4、5点作投影连线，求得其正面投影2'、3'、4'、5'，再由水平投影和正面投影求出五边形各顶点的侧面投影1″、2″、3″、4″、5″，依次连接各顶点，即得平面P的W面投影，结果如图2-30（c）所示。

2.投影面平行面

平行于一个投影面（必垂直于另外两个投影面）的平面称为投影面平行面。平行于V面称为正平面；平行于H面称为水平面；平行于W面称为侧平面。表2-4列出了这三种平行面的立体图、投影图及其投影特性。

投影面平行面的投影特性归纳如下：

（1）平面在所平行的投影面上的投影反映实形。

（2）平面在另外两个投影面上的投影积聚成直线，并且平行相应投影轴。

对于投影面平行面，画图时，一般先画反映实形的那个投影，然后按投影关系画出两个积聚投影。读图时，只要平面的投影图中有一个投影积聚为与投影轴平行的直线段，即可判断该平面为投影面的平行面，平面的三面投影中为平面形的投影即为平面的实形。

3.一般位置平面

与三个投影面都倾斜的平面称为一般位置平面，如图2-31所示。

一般位置平面的投影特性归纳如下：

（1）三个投影都是边数相等的平面形。

（2）三个投影都不反映平面的变形。

（3）投影图中不反映平面与投影面的倾角。

（三）平面上的点和直线

1.直线在平面上的几何条件

直线在平面上的几何条件是：直线通过平面上的两点；或者直线通过平面上的一点，且平行于该平面上另一直线。如图2-32所示，直线MN通过由相交两直线AB、BC所确定的平面P上的两个点M、N，因此直线MN在平面P上；直线CD通过由相交两直线AB、BC所确定的平面P上的点C，且平行该平面内的直线AB，因此直线CD在平面P上。

2.点在平面上的几何条件

点在平面上的几何条件是：该点在这个平面内的某一条直线上。如图2-33所示，由于M点在由相交两直线AB、BC所确定的平面P内的直线AB上，因此点M是P平面上的点。

【例2-8】　如图2-34所示，已知点M在△ABC平面上，点N在△DEF上，并知点M、N的正面投影m'、n'，求其水平投影m、n。

分析：△ABC两投影均为平面形，求作其上点的投影需作辅助线；△DEF为铅垂面，可利用其水平投影的积聚性，直接投影作图。

作图：

（1）求m。过m'在平面内作任意辅助线CD的正面投影c'd'，并求出其水平投影cd，利用直线上点的从属性，在cd上求得m，即为所求，如图2-34（a）所示。

（2）求n。如图2-34（b）所示，过n'向下作投影连线，与△DEF积聚投影def的交点即为n。

【例2-9】　如图2-35（a）所示，判断点K、直线AM是否在△ABC上。

分析：根据点、直线在平面上的几何条件，若点K在△ABC平面内的一条线上，则点K在△ABC平面上，否则点K就不在△ABC平面上；对于直线AM，由于点A是△ABC平面上的已知点，只要判断M点是否在△ABC平面上，就可以判断出直线AM是否在△ABC平面上。

作图：

（1）如图2-35（b）所示，假设点K在△ABC平面上，作AK的正面投影，即连接a'k'，并延长与b'c'交于d'。

（2）由d'求出其水平投影d，连线ad。由于K点的水平投影k在ad上，说明点K在△ABC平面上的直线AD上，即点K在△ABC平面上。

（3）如图2-35（c）所示，采用同样方法，判断出点M不在△ABC平面上，则直线AM不在△ABC平面上。

【例2-10】　如图2-36（a）所示，已知△ABC的两面投影，试在△ABC上通过A点作水平线，通过C点作正平线。

分析：在平面上作水平线和正平线，不仅要符合平面上直线的投影特性，而且要符合投影面平行线的投影特性，即水平线的正面投影平行OX轴，正平线的水平投影平行OX轴。

作图：

（1）求水平线。在正面投影中，过a'作a'd'∥OX，交b'c'于d'，点D在三角形的BC边上，利用直线上点的从属性，由d'求得d，连ad。a'd'、ad即为所求△ABC平面上水平线的两投影，如图2-36（b）所示。

（2）求正平线。 在水平投影中，过c作ce∥OX，由e求得e'，连接c'e'、ce即为所求，如图2-36（c）所示。

　　【例2-11】　已知平面四边形ABCD的正面投影a'b'c'd'及AB边的水平投影ab，且四边形对角线BD为正平线，完成平面四边形ABCD的水平投影。

分析：由图2-37（a）可知，只要作出C、D两点的水平投影c、d，然后顺次连接b、c、d、a即可。因为平面四边形的对角线为正平线，根据正平线的投影特性，其水平投影与OX轴平行，可画出其水平投影，从而确定顶点D的水平投影。再利用辅助线法，在△ABD的平面上求出点C，连线即完成平面四边形的水平投影。

作图：

（1）在水平投影中，过b作OX平行线与过d'所作投影连线的交点即为d，如图2-37（b）所示。

（2）在正面投影中，画出两条对角线，其交点为1'，在对角线BD的水平投影bd上求得1，连线a1并延长与由正面投影c'所作投影连线交点为c，连接bc、cd、da三条边即为所求，如图2-37（c）所示。