第三节　行列式的计算

现在我们利用行列式的定义与性质，来计算行列式的值。

【例1.6】　计算行列式

解　这个行列式的特点是各行元素的和都是6，所以可以把第2，3，4行同时加到第1行上去，提出公因子6，然后各行再减去第一行。

至此，利用行列式性质将它化为了通常我们所希望得到的上三角行列式，于是

D=6×1×23=48

【例1.7】　计算4阶行列式

解　与例1.6不同，这个行列式的元素没有多少规律性。这时可以利用行列式的性质1.6，在行列式的某一行（列）中“制造”出许多零来。具体说来，我们可把行列式第三行元素的-2倍，1倍和-3倍分别加到行列式的第一行、第二行和第四行上去，并且把变化后的行列式按照其第一列来展开，则有

把行列式化为上三角行列式，或者在行列式的某一行（列）中“造零”，这是计算低阶数值行列式时常用的方法。至于对一般的字母符号行列式的计算问题，情况又会有所不同。

【例1.8】　计算行列式

解　把第一列的负1倍加到第二、第三、第四列后，再把第二列的负2倍加到第三列、负3倍加到第四列，即有

【例1.9】　计算n+1阶的行列式

解　注意到该行列式每行元素之和结果都是一样的，所以我们利用行列式性质1.6，把行列式的第1～n列的各列元素的1倍都加到最后一列上去，行列式的值不改变。即

从最后一列提取公因式，有

再把最后一列的-ai（i=1，2，…，n-1）倍分别加到它前面的每个第i列上去，则得

行列式已经化为了上三角形式，于是

【例1.10】　计算n阶行列式

解　先把第二行的负1倍加到第三行及其以后的各行上去，再从第二行提取公因子2，然后把第一行的负1倍加到第二行，则有

【例1.11】　证明n阶范德蒙（Vandermonde）行列式

证　对阶数n用数学归纳法。

（1）当n=2时，

结论成立。

（2）假设对n-1阶行列式结论成立，要证对n阶范德蒙行列式结论也成立。

为此，设法把Dn降阶，将Dn从最后一行开始，自下而上每一行减去上一行的a1倍（注意，为什么必须是这样做呢？），这种方法我们通常称之为辗转相减法，并由此得到

将上面的行列式按第一列展开，然后把每列的公因子（ai-a1）（i=1，2，…，n）提取出去，就有

上式右端的行列式是n-1阶的范德蒙行列式，由归纳法假设，它等于，所以

综合上述，结论得证。