第一节　n阶行列式

在讨论一般n阶行列式之前，先简单回顾一下二、三阶行列式。

一、二、三阶行列式

在初等数学中，二、三阶行列式的概念是在线性方程组的求解中提出的。例如，对于一个二元线性方程组

　　 （1.1） 　　

利用消元法，在两个方程的两边分别同乘以a22或a12，方程成为

当a11a22-a12a21≠0时，两式相减消去变量x2而求得x1的解；同理也可求得x2的解。其一组解为

　　 （1.2） 　　

从二元线性方程组解的形式可以发现，如果引入记号

　　 （1.3） 　　

则式（1.2）可表示为

其中分母D是方程组的系数行列式，而D1，D2是用方程组右端的常数列分别替换系数行列式的第一列和第二列所得到的行列式。

我们把按照式（1.3）来规定其值的，由a，b，c，d四个数构成的两行、两列的式子

称为二阶行列式。用二阶行列式来表示二元线性方程组的解，其形式确实简洁明了。

【例1.1】　解线性方程组

解　由于方程组的系数行列式，又用方程组右端的常数列分别替换系数行列式的第一列和第二列，有

所以方程组的解为

类似地，如果在求解三元方程组

的过程中引入下列三阶行列式的记号，并规定其值

　　 （1.4） 　　

则当三元线性方程组的系数行列式

时，用消元法求解这个方程组同样可得

　　 （1.5） 　　

式中，Dj（j=1，2，3）是用常数项b1，b2，b3替换D中的第j列所得的三阶行列式，即

在式（1.4）中三阶行列式的展开式可以用所谓主、副对角线法则得到

其中每一条实线上的三个元素的乘积带正号，而每一条虚线上的三个元素的乘积带负号。所得六项的代数和就是三阶行列式的值。

【例1.2】　计算行列式

解

D=1×2×1+1×（-1）×1+0×3×3-1×2×3-1×3×1-0×（-1）×1=-8

但是需要指出的是：主、副对角线法则不易于向一般的n阶行列式推广。例如，在下列4阶行列式中

a11a22a34a43这一项是来自于不同行与不同列的4个元素的乘积，但是其中元素a11，a22在主对角线方向上，而a34，a43则在副对角线方向上。该项应该带有什么符号？这用主、副对角线法则就不好确定了。

事实上，二、三阶行列式还有这样一个规律，它们都可以按第一行展开得到行列式的值。例如对三阶行列式有

　　 （1.6） 　　

式中，A11，A12，A13分别是第一行元素a11，a12，a13的代数余子式

　　 （1.7） 　　

这一展开的规律启示我们：对一般的n阶行列式，可以像式（1.6）、式（1.7）那样，用低阶行列式的值去定义高阶行列式的值。这样的定义方式具有内在的一致性。对于用这种方法定义的各阶行列式必然会有许多共同的性质和统一的计算方法。

二、n阶行列式

现给出n阶行列式的归纳式定义。

定义1.1　由n×n个数aij（i，j=1，2，…，n）组成的具有n行n列的式子

叫做n阶行列式（Determinant），并且规定其值为：

（1）当n=1时，D=｜a11｜=a11；

　　 （1.8） 　　

其中A1j=（-1）1+jM1j，而

并称M1j为行列式D的元素a1j的余子式（Cofactor），A1j为行列式D的元素a1j的代数余子式（Algebraic Cofactor）。

由行列式的定义，它的值为n2个元素aij（i，j=1，2，…，n）的乘积构成的和式，称该和式为行列式的展开式。显然其有下面的性质：

性质　n阶行列式D的展开式中有n！个项，每项都是来自于行列式的不同行不同列的n个元素的乘积。

证　对该性质不难用归纳法给予证明。

（1）当n=1时，结论显然成立；

（2）假设对n-1阶行列式结论也成立。则对n阶行列式D，由式（1.8）

和归纳假定可知，行列式D的第一行每个元素a1j的代数余子式A1j均为n-1阶行列式，因而它的展开式中有（n-1）！个项，而且每一项都是来自于除第一行和第j列以外的n-1个不同行、不同列的元素的乘积。将D的第一行n个元素的所有代数余子式A1j代入展开式（1.8）中，易知这样产生的所有项都互不相同，并且可得到：n阶行列式D的展开式中确实有n×（n-1）！=n！个项，且每项都是来自于不同行、不同列的n个元素的乘积。

综合上述，性质得证。

此外，我们实际上还可证明：在行列式的展开式中带正号的项和带负号的项各占一半。（证明过程留给读者）

【例1.3】　计算n阶上三角行列式（Upper triangular determinant）

解　由行列式定义，按第一行展开时，元素a12，a13，…，a1n的余子式皆等于零。所以

Dn=a11×（-1）1+1×M11=a11×M11

并且元素a11的余子式M11仍然是上三角的，以此类推，得

Dn=a11a22…ann

特别地，对下列（主）对角行列式（Diagonal determinant），有

【例1.4】　计算n阶行列式

解　这是依照副对角线的n阶下三角行列式。由n阶行列式的定义，可以得到

Dn=a1n×（-1）1+n×M1n

注意到上式右端中元素a1n的余子式M1n是位于原行列式左下角的那个n-1阶行列式，而且有与n阶行列式Dn同样的形式，反复利用行列式定义去展开，有

值得注意的是：这个n行列式Dn的值并不总等于（-1）a1na2（n-1）…an1。

【例1.5】　计算4阶行列式

我们还看到，该行列式的第4行中的零元素比第1行中的零元素还要多。如果能够按照第4行去展开，那计算不是更加简单吗？事实上，若按行列式的第四行元素去展开行列式，就得到

这与按n阶行列式定义计算的结果是一致的。

行列式不但可以按第一行元素展开，而且也可以按第一行以外的任一行或者任一列去展开，其结果都是相同的，即有

定理1.1　n阶行列式D等于它的任一行（列）元素与它们所对应的代数余子式乘积之和，即

　　 （1.9） 　　

或

　　 （1.10）