第六节　方阵求逆·齐次线性方程组有非零解的判定

在本节中，我们将在上一节有关初等变换理论的基础上，作为它的应用，探讨用初等变换方法求方阵的逆矩阵和判定齐次线性方程组何时有非零解的问题。

一、方阵求逆

现在我们介绍用初等变换来求逆矩阵的方法。先引入

定理2.5　n阶矩阵A可逆的充要条件是A经过若干次初等行变换可以化为单位矩阵，即存在初等矩阵P1，P2，…，Pk使得

Pk，…，P2P1A=E　　（2.17）

证　充分性。假设存在初等矩阵P1，P2，…，Pk使得式（2.17）成立，在式（2.17）

两边取行列式，有

｜Pk｜…｜P2｜｜P1｜｜A｜=｜E｜=1

从而｜A｜≠0，即矩阵A是可逆的。

必要性。可以有下面两种不同的证法。

证法一　用定理2.4的结论来证明。对n阶矩阵A，由定理结论，一定存在n阶初等矩阵P1，P2，…，Pk以及n阶初等矩阵Q1，Q2，…，Ql使得

两边取行列式，得到

因为初等矩阵是可逆的，从上式可见，有

　　　　　　　　　　　　A可逆⇔｜A｜≠0⇔r=n

而当r=n时，再由

　　　　　　　　　　　　Pk…P2P1AQ1Q2…Ql=E

可以得到

Pk…P2P1A=E（Q1Q2…Ql）-1=（Q1Q2…Ql）-1E

即　　（QlQ2…Ql）（Pk…P2P1）A=E

所以有形如式（2.17）的结论成立。证毕。

必要性也可以直接用做初等变换的方法来证明。

证法二　设n阶可逆矩阵

且｜A｜≠0。所以它的第1列元素不全为零。不失一般性，设a11≠0（如果a11=0，必存在ai1≠0，把第i行与第1行对调，即有a11≠0），先把第1行乘以，然后再将第1行的（-ai1）倍加到第i行（i=2，3，…，n）上去，得

　　 （2.18） 　　

因为，对矩阵中的A1重复上述过程，直至把A的主对角元素全化为1，即

　　 （2.19） 　　

容易看出，式（2.19）中的矩阵C，自下而上经过若干步初等行变换可进一步化为单位矩阵

P3p…P32P31C=E　　（2.20）

把式（2.19）、式（2.20）代入式（2.18），并将三个式子中出现的初等矩阵依次记为P1，P2，…Pk，则有

Pk…P2P1A=E

成立。证毕。

因为初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵。所以从上述定理的结论式（2.17）不难看到

推论2.3　一个n阶矩阵可逆的充要条件是，可以将它表示为若干个初等矩阵的乘积。

上述定理不仅说明了可逆矩阵所具有的特殊性质，同时也已给出了计算逆矩阵的一种新的方法。事实上，在式（2.17）两边右乘A-1有

Pk…P2P1E=A-1　　（2.21）

现构造一个n×2n的矩阵（A｜E），即

合并式（2.17）、式（2.21），并利用分块矩阵的乘法，则有

Pk…P2P1（A｜E）=（E｜A-1）　　（2.22）

上式说明，对所作的n×2n的矩阵（A｜E）施行初等行变换，当把它的左半部分A化成单位矩阵的同时，它的右半部分E就变成了A的逆矩阵A-1。

【例2.14】　求下列矩阵的逆矩阵

解　构造3×6的矩阵（A｜E），并对其施行初等行变换

所以

注意：用初等行变换的方法求逆矩阵，在数学与工程软件MATLAB中也有相应的函数命令即inv来实现这一过程。例如在MATLAB的命令窗口输入

≫A=［0-13；101；210］；　　　　　％　输入3阶矩阵

≫B=inv（A）；　　　　　　　　　　％　求逆矩阵

回车，即可得到矩阵A的逆矩阵B。同时也可以对结果进行验证，继续输入

≫A*B，B*A

回车，即得两个3阶单位矩阵。对此可见本章第八节MATLAB软件简介。

用初等行变换的方法求逆矩阵，其计算工作量远远小于伴随矩阵法，因而是实际可行的方法。此外，我们甚至还可以直接使用初等行变换的方法来求解线性方程组或矩阵方程组。

【例2.15】　求解线性方程组AX=b，式中

解　我们可以对方程组的增广矩阵（A｜b）　用初等行变换

当增广矩阵中的前一部分被化为单位矩阵时，它的后一部分就变成A-1b。而X=A-1b即为所求的线性方程组的解。

二、齐次线性方程组有非零解的判定

最后，为了第三章理论推导的需要，我们要用初等行变换的方法来讨论齐次线性方程组何时有非零解的问题。下面先举一个齐次线性方程组求解的例子。

【例2.16】　求解方程组

解　对于齐次线性方程组只要对它的系数矩阵施行初等行变换：

方程组的系数矩阵被化成一种简化的阶梯矩阵形式。从而原方程组与下列方程组同解

这个方程组仅有两个“独立”的方程，从中只能“求解”出两个未知量的值。因而将x2，x4看作自由未知量，取x2=k1，x4=k2为任意常数，代入上述方程组，就得到原线性方程组的全体解

当取定k1=0，k2=0时，即得齐次线性方程组的零解；当然因为存在可以任意取值的自由未知量x2，x4，所以此例中的线性方程组也必定有无穷多个非零解。

对一般的齐次线性方程组

　　 （2.23） 　　

其系数矩阵经过一些列初等行变换后总可以化为下列简化阶梯形矩阵（最多可能需要对调某些变量的前后位置）

关于上述结论的一般性理解可以参见本章第五节的定理2.3。原齐次线性方程组与矩阵R所对应的、具有r个方程的下列齐次线性方程组

是同解的。当r<n时，把xr+1，xr+2，…，xn看作自由未知量，不难写出原齐次线性方程组的解

式中，k1，k2，…，kn-r是任意常数。

并且关于齐次线性方程组何时有非零解与解的个数问题，由此有下列结论：

（1）当r<n时，齐次线性方程组有无穷多个解，从而必有非零解；

（2）当r=n时，齐次线性方程组只有唯一零解。

结论（1）是显然的。至于结论（2）以及它们的严格证明等则要留到第四章去做。值得指出的一种特殊情况是，如果齐次线性方程组中方程的个数m小于未知量的个数n，那么它必定有非零解。

上面结论中，参数r有非常重要的意义。这个参数的值体现了原方程组中所含有的起“独立作用”的方程的个数，因而也反映了方程组系数矩阵的某种性质。在下一章中我们将知道，这个r就是方程组系数矩阵的秩。