§2　频率与概率

随机事件在一次试验中是否发生是不确定的，人们常常希望知道某些事件在一次试验中发生的可能性究竟有多大，并希望用一个数来表示事件在一次试验中发生的可能性大小。为此首先引入频率，它描述了事件发生的频繁程度，进而引出表征事件在一次试验中发生的可能性大小的数——概率。

一、频率

定义2.1　在相同的条件下，做n次重复试验，若事件A发生了m次，则称比值m/n为这n次试验中事件A发生的频率，记为fn（A），即。

易证，频率具有下列基本性质。

（1）对任一事件A有0≤fn（A）≤1。

（2）fn（Ω）=1，fn（ф）=0。

（3）若A1，A2，…，Ak是两两互斥的事件，则

由于事件A发生的频率是它发生的次数与试验次数之比，其大小表示A发生的频繁程度，频率越大，事件A发生越频繁，这就意味着A在一次试验中发生的可能性愈大，直观的想法是用频率来表示A在一次试验中发生的可能性大小。但是否能用频率作为概率的定义呢？请看下面具体事例。

历史上有人作过成千上万次掷硬币的试验，表1-1列出了他们的试验记录。

由上述数据可以看出：

（1）频率随着掷硬币次数n的变化而不同，还可用试验说明对于相同的掷硬币次数n，频率也具有随机波动性；

（2）掷硬币次数n较小时，频率随机波动的幅度较大，但随着n的增大，频率呈现出稳定性，即当n逐渐增大时，频率总是在数0.5附近摆动，而逐渐稳定于0.5。

由此可以看出，当n较小时用频率来表达事件发生的可能性的大小显然是不合适的，而当n逐渐增大时，频率逐渐稳定于某一个常数。对于每一个随机事件A都有这样一个客观存在的常数与之对应。这种“频率稳定性”就是通常所说的统计规律性，它不断地为人们的实践所证实，它揭示了隐藏在随机现象中的规律性。用这个频率的稳定值来表示事件发生的可能性大小是合适的。

二、概率的古典定义

概率的古典定义源自于概率的古典模型，这种模型的核心思想来自于对只包含有限个等可能基本事件的随机试验的研究。这种随机试验是人们最早注意到的一类随机现象，它与排列、组合问题有着密切的联系。

如果随机试验，具有如下两个特征：

（1）试验的样本空间的基本事件只有有限个；

（2）试验中每个基本事件发生的可能性相同。

具有这两个特征的随机试验所对应的数学模型称为古典概型（或称等可能概型）。

定义2.2　在古典概型中，如果基本事件的总数为n，事件A包含m个基本事件，则称为事件A的概率，记为。

关于概率论的产生，目前公认的是始于17世纪，帕斯卡尔（B.Pascal）与费尔马（P.de Fermat）在来往信件中关于掷骰子游戏中的数学问题的讨论。此后，经多位数学家的工作，概率论的内容得到了不断的丰富，到了1812年，法国数学家拉普拉斯（P.S.Laplace）完成了他的集大成之作《Théorie analytique des probabilities》。在该著作中，拉普拉斯提出了概率的上述定义。现在将此定义称为概率的古典定义，因为它只适用于古典概型。

【例1】　号码锁上有6个拨盘，每个拨盘上有0～9共10个数字，当这6个拨盘上的数字组成原确定打开号码锁的6位数时（第一位可以是0），锁才能打开，如果不知道锁的号码，一次就把锁打开的概率是多少？

解　原确定打开号码锁的六位数字只有一个，设A表示“一次就把锁打开”事件，由题知，号码锁所有可能组成的六位号码共有106个。因此

这说明一次就把锁打开的可能性只为百万分之一，因此，在不知锁号码的情况下，一次就把锁打开几乎是不可能的。

【例2】　设一口袋中有m件产品，其中有k件正品，m-k件次品。现从中一次任意取出n（n≤m）件产品，问其中恰有j（j≤k）件正品的概率。

解　从m件产品中任取n件，所有可能的取法共有种，即基本事件总数为。在k件正品中任取j件，所有可能的取法为种；其余n-j件只能从m-k件次品中取出，所有可能的取法为种。于是，所求事件A的概率为

定理2.1　古典概率具有下列性质：

（1）对任意事件A，有0≤P（A）≤1。

（2）P（Ω）=1，P（ф）=0。

（3）如果事件A与B互斥，则

P（A∪B）=P（A）+P（B）

证　性质（1）、（2）显然。

对于性质（3），设样本空间共有n个基本事件，事件A中包含m1个，事件B中包含m2个，已知AB=ф，则A∪B中包含m1+m2个两两互斥的基本事件，因而

利用数学归纳法可证：若事件A1，A2，…，An两两互斥，则有

此性质称为概率的有限可加性。

由性质（3）可证，，即。

【例3】　将一枚硬币抛掷三次。

（1）设事件A1为“恰有一次出现正面”，求P（A1）。

（2）设事件A2为“至多有一次出现正面”，求P（A2）。

（3）设事件A3为“至少有一次出现正面”，求P（A3）。

解　（1）一枚硬币抛掷三次，所有可能的结果为23=8。“恰有一次出现正面”，可能只是第一次出现正面，可能只是第二次出现正面，可能只是第三次出现正面。所有可能为3种，因而

（2）“至多有一次出现正面”意味着“三次无一次正面”或“三次恰有一次正面”，因而

（3）“至少有一次出现正面”与“无一次出现正面”为对立事件，则

【例4】　产品放在一箱内，其中正品46件，废品4件，从箱中取产品两次，每次随机地取一件。考虑两种取产品方式：第一次取一件观察结果后放回箱中，搅匀后再取一件，这种取产品方式叫做有放回抽样；第一次取一件不放回箱中，第二次从剩余的产品中再取一件，这种取产品方式叫做不放回抽样。试分别就上面两种情况，求

（1）取到的两件产品都是正品的概率；

（2）取到的两件产品为同质量的概率；

（3）取到的两件产品中至少有一件是正品的概率。

解　设A，B，C分别表示事件“取到的两件都是正品”、“取到的两件都是废品”、“取到两件中至少有一件是正品”。易知，“取到的两件为同质量”事件为A∪B，而。

有放回抽样的情况：

（1）

（2）

且AB=ф，所以　　P（A∪B）=P（A）+P（B）=0.8528

（3）

不放回抽样的情况：

（1）

（2）

又AB=ф，所以　　P（A∪B）=P（A）+P（B）=0.8498

（3）

【例5】　设有n个球，每个都能以同样的概率落到N个盒子（N≥n）的每一个盒子中（设盒子的容量不限），试求：

（1）每个盒子至多有一个球的概率p1；

（2）某指定的n个盒子中各有一个球的概率p2；

（3）任何n个盒子中各有一个球的概率p3。

解　对于每一个球，它可落入N个盒子中的任一个，因而它有N种落入法，于是n个球落入N个盒子中共有种落入法。

（1）每个盒子至多有一个球，于是第一个球有N种落入法，第二个球有N-1种落入法，类似地做下去，可知放法共有N（N-1）…［N-（n-1）］种，则

（2）已指定n个盒子中各有一个球的落入法共有n（n-1）…3·2·1=n！种，则

（3）任何n个盒子中各有一个球，完成这件事需分两步。首先从N个盒子任取n个盒子，这有种方法；再把n个球放入某指定的n个盒子中（每盒放入一球），这有n！种方法，则

三、几何概率

当随机试验样本空间中的基本事件个数为无穷多个时，便产生了一种新的概率模型。

如果随机试验具有下列两个特征：

（1）随机试验样本空间中的基本事件有无穷多个；

（2）每一个基本事件在样本空间中是“均匀分布”的。

具有这样两个特征的随机试验所对应的数学模型称为几何概型。

在几何概型中，对样本空间及其子集的度量，是采用几何的手段。直观地说，在一维空间是区间长度，二维空间是区域面积，三维空间是区域体积……。空集的几何度量为零。需要特别指出的是，“基本事件在样本空间中是均匀分布的”具体含意是：由样本点构成的子集所对应的随机事件发生的可能性大小与子集的几何度量结果成正比，而与该子集的几何形状及其在样本空间中的位置无关。

定义2.3　在几何概型中，以L（Ω）和L（A）分别表示样本空间和随机事件A所对应的子集的几何度量值，则称为事件A的概率，记作

【例6】　（会面问题）两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就可离去，试求这两人能会面的概率。

解　以x，y分别表示两人到达的时刻，则会面的充要条件为｜x-y｜≤20。这是一个几何概率问题，可能的结果全体是边长为60的正方形里的点，能会面的点的区域用阴影标出（如图1-2），所求概率为。

【例7】　在线段AD上任取两点B，C，在B，C处折断而得三个线段，求“这三个线段能构成三角形”的概率。

解　设A表示事件“三个线段能构成三角形”，三个线段的长度分别为x，y，z，线段AD长度为a，则有

x+y+z=a

x>0，y>0，z>0，a>0

把x，y，z看成空间点的坐标，则所有基本事件可用平面x+y+z=a在第一卦限内的部分上△PQR上的所有点表示。要使三条线段构成三角形，需满足条件

0<x<y+z，0<y<x+z，0<z<x+y

满足上述三个不等式点的集合为平面x+y+z=a上△PQR的三边中点连线所构成的△EFG上的所有点组成（如图1-3所示）。则

四、概率的公理化定义

两个互斥事件的和的概率等于这两个事件的概率之和，是古典概率与几何概率的一条核心性质，概率的公理化模型就是将这一性质加以推广。与古典概型和几何概型不同，在公理化模型中，所涉及的随机试验，不再局限于基本事件的总数有限、基本事件具有等可能性或在样本空间中均匀分布、样本空间及其子集具有几何度量值。

定义2.4　设E是随机试验，Ω是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P（A），称P（A）为事件A的概率，如果它满足下列三个条件：

（1）对于每一个事件A，有0≤P（A）≤1；

（2）P（Ω）=1；

（3）若A1，A2，…，An，…是两两互斥的事件，即对于i≠j，AiAj=ф，i，j=1，2，…，则有

并称此为概率的可列可加性。

显然，概率的古典定义和几何定义是公理化定义的特殊情形。

由概率的公理化定义可以推得概率的一些重要性质。

性质1　P（ф）=0

证　　　　　　　　　Ω=Ω∪ф∪ф∪…

由条件（3）知　　　　　　P（Ω）=P（Ω）+P（ф）+P（ф）+…

又P（Ω）=1，故　　　　　1=1+P（ф）+P（ф）+…

所以　　　　　　　　　　　0=P（ф）+P（ф）+…

由条件（1）知　　　　　　P（ф）≥0

所以　　　　　　　　　　P（ф）=0

性质2　如果A1，A2，…，An两两互斥，则有

证　在条件（3）中，令An+1=An+2=…=ф，并利用性质1推得

此性质也称为概率的有限可加性。

性质3　对任一事件A，成立等式

证　因为，且，由性质2知

性质4　（减法公式）若A⊂B，则　　P（B-A）=P（B）-P（A）

证　因为当A⊂B时，B=A∪（B-A），且A（B-A）=ф，由性质2知

P（B）=P（A）+P（B-A）

即　　P（B-A）=P（B）-P（A）

推论　若A⊂B，则P（A）≤P（B）。

性质5（加法公式）　设A，B为任意两个事件，则有

P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）

证　因为A∪B=A∪（B-AB），且A（B-AB）=ф，AB⊂B，由可加性和性质4知

P（A∪B）=P（A）+P（B-AB）=P（A）+P（B）-P（AB）

推论　P（A∪B）≤P（A）+P（B）

性质5还可推广到多个事件的情况，例如，设A1，A2，A3为任意三个事件，则有

P（A1∪A2∪A3）=P（A1）+P（A2）+P（A3）-P（A1A2）

　　　　　　　-P（A1A3）-P（A2A3）+P（A1A2A3）

一般，对于任意n个事件A1，A2，…，An，可以用归纳法证得

【例8】　设，，在下列三种情况下求的值。

（1）A与B互斥；

（2）A⊂B；

（3）。

解　（1）由于AB=ф，故，则，因此

（2）当A⊂B时

（3）当时，因为，又AB⊂B，则

【例9】　在1～2000的整数中随机地取一个数，问取到的整数不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？

解　设A为事件“取到的数能被6整除”，B为事件“取到的数能被8整除”，则所求概率为

由于 　　

所以 　　

又因为一个数同时能被6与8整除，就相当于能被24整除，由于

故 　　

于是所求概率为