第四节　行列式按行（列）展开定理

较高阶的行列式一般不容易计算，但二、三阶行列式可以比较容易地由对角线法则计算出它的值，那么能否将一个四阶或四阶以上的行列式通过降阶化为二、三阶行列式进行计算呢？以下给出这种方法.

一、按一行（列）展开行列式

定义1-4-1　在n阶行列式D=｜aij｜中去掉元素aij所在的第i行和第j列后，余下的n-1阶行列式，称为D中元素aij的余子式，记为Mij.即

Aij=（-1）i+jMij称为aij的代数余子式.

【例1-4-1】　写出四阶行列式的元素a23的余子式和代数余子式.

引理　若n阶行列式D=｜aij｜中的第i行中有一个元素aij≠0，其余元素都为零，则

D=aijAij.

证　先证i=1，j=1的情形.此时

由于在D的第一行元素中，除了a11外其余都为零，所以在D中含有a1j（j≠1）的项都为零，因此根据行列式的定义，得

再证一般情形，此时 　

现将第i行依次与第i-1，i-2，…，2，1行互换后，再将第j列依次与第j-1，j-2，…，2，1列互换，由行列式性质2，得

再由前述情形得

D=（-1）i+jaijMij=aijAij

定理1-4-1　n阶行列式D=｜aij｜等于它的任意一行（列）的各个元素与其对应代数余子式乘积的和，即

D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin　　（i=1，2，…，n）　　（1-4-1）

或

D=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj　　（j=1，2，…，n）　　（1-4-2）

以上两公式为行列式按某一行（列）展开公式.

证　仅证式（1-4-1）.

如对三阶行列式，它的第一行元素与对应代数余子式的乘积之和：

由于n阶行列式的代数余子式均为n-1阶的行列式，那么这一定理的结论表明：可将一个n阶行列式化为若干n-1阶行列式来计算.因此在计算较高阶的行列式时，必要的话可多次利用展开公式，将行列式逐次降阶，直至化为三阶或二阶行列式来计算.

【例1-4-2】　分别按第一行与第二列展开行列式.

解：按第一行展开

按第二列展开

运用展开公式计算行列式时，往往按零元素较多的行（列）展开以简化计算，或通过行列式的性质把某一行（列）的元素尽可能多地化为零，再展开.

【例1-4-3】　计算行列式.

【例1-4-4】　讨论当k为何值时.

所以当k≠1且k≠2且k≠-2时，

二、行列式按某k行（列）展开

定义1-4-2　在n阶行列式D中，任意选k行和k列，位于这些行和列交叉处的k2个元素，按原来相对位置不变排成一个k阶行列式M，称为行列式D的一个k阶子式.

在D中划去k行和k列后，余下的元素按原来相对位置不变排成地一个n-k阶行列式N称为k阶子式M的余子式.

如果k阶子式M中所在的行与列的行标和列标分别为i1，i2，…，ik和j1，j2，…，jk，则称

为k阶子式M的代数余子式.

例如，在四阶行列式中，如果选定第一、第二行和第三、第四列，就可以确定行列式D的一个二阶子式，M的余子式为，M的代数余子式为.

定理1-4-2　拉普拉斯（Laplace）定理

在行列式D中任意取定k行（1≤k≤n），则行列式D等于由这k行元素组成的所有k阶子式M1，M2，…，Mt与其对应的代数余子式A1，A2，…，At的乘积之和.即

证明略.

【例1-4-5】　用拉普拉斯定理计算行列式.

解：因为在行列式中按第三、第四行展开的全部二阶子式为

所以由定理1-4-2得.

【例1-4-6】　计算2n阶行列式

因为前n列和后n行交叉位置上的元素都是零，按前n行展开，得

类似地，如果｜A｜和｜B｜如上所设，同样也有