惠更斯

帕斯卡与费马在书信中讨论的这些内容传到了克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens）的耳朵中。当时，这位伟大的荷兰科学家正在巴黎访问。他不仅接受并拓展了书信中传递的那些思想，之后还解决了那几个问题，并于1656年出版了关于这些问题的第一部著作。1692年，约翰·阿布斯诺特（John Arbuthnot）把它翻译成英文版，书名就叫《机遇的规律》（Of the Laws of Chance）。

在这本书的开头，惠更斯提出了一条基本原理：

公设

下列命题构建于这样的公理之下：赢得任何东西的概率或期望值，都与在公平赌局中获胜的概率或期望值一样，可以通过求和的方式计算出来。比如，某个人的左手和右手分别握有3先令和7先令。他让我在不知情的情况下选择一只手，然后他会把那只手握着的钱送给我。我认为，这相当于他送给我5先令，这是因为在公平的条件下，我获得5先令与赢得3先令或7先令的概率或期望值是一样的。

惠更斯认为，他其实可以通过抛质地均匀的硬币的方法来决定选择哪只手。1/2×3+1/2×7=5，因此他说，赌注的价值和得到5先令的价值是一样的。于是，他明确地（通过一个特例）提出了帕斯卡与费马书信中隐含的一条原理：期望值是测算价值的正确方法。

接着，他从公平性的角度论证了这种测算方法的合理性。假设我用一枚质地均匀的硬币与某人打赌，赌注是10先令。由于对称性，所以这个赌局是公平的。现在，假设我们一致同意修改赌局，无论谁赢，都要分给输家3先令。这种做法不会破坏对称性，所以修改后的赌局协议仍然是公平的。但现在输家拿到了赌注中的3先令，赢家还剩7先令。诸如此类的协议都会保持公平性，包括赢家分5先令给输家，最后双方各有5先令的协议。接着，惠更斯表明这种论证方法还可以推广至任意有限数量的结果和概率为任意合理值的结果。所以，利用对称性来证明等概率情况的做法将在本书中反复出现。

牛顿追随者的想法

阿布斯诺特是牛顿的追随者，他在惠更斯著作的英译本的序言中发表了一句值得我们注意的评论：

在力量和方向都确定的情况下，骰子落下后朝上的一面也是确定的，只不过我不知道什么样的力量和方向，才能使我想要的那一面朝上。因此，我称之为概率，意思是技能的缺乏。

通过这段文字，阿布斯诺特引入了在确定的环境中如何正确认识概率的问题。他给出的答案是：概率是人类无知的产物。

以抛一次硬币为例。用拇指弹击硬币，硬币在空中翻转，随后被抓在手心里。很明显，如果拇指用同样的力量弹击硬币相同的部位，硬币落下后朝上的面也会保持不变。所以，抛硬币是一种有规律可循的物理现象，而不是随机的！为了证明这一点，我们请物理系为我们制造了一台抛硬币机。如图1–3所示，在弹簧被松开之后，停留在弹簧上的硬币一边翻转，一边弹起，然后落在一只杯子里。因为弹簧的力量是受控的，所以硬币落下后总是同一面朝上。这个结果令人发自内心地感到不安（本书的两名作者也不例外），魔术师和不诚实的赌徒（包括本书的一位作者）都具有这样的技能。

那么，为什么认为抛硬币具有随机性的观点如此普及，并取得了巨大成功呢？庞加莱（Poincaré）给出了基本回答。如果将硬币用力弹起，使之有足够的垂直速度和角速度，硬币就会对初始条件产生敏感的依赖性。初始条件的一点儿不确定性将会被放大，使结果具有很大的不确定性，以至于在一定程度上，我们可以假设结果具有等概率，但这必须满足一些重要的限制性条件。关于这一点，请参阅本章的附录2。我们将在第9课详细讨论这个问题。

图1-3 可以确定结果的抛硬币机