第1课
概率是可以测度的

吉罗拉莫·卡尔达诺（Gerolamo Cardano）

要搞清楚一门学科的本质，认真研究该学科的开创者的想法是一条可行的路径。事实上，某些基础性哲学问题从一开始就是显而易见的。关于概率，我们的第1堂课要介绍的第一个伟大思想是：概率是可以测度的。这个观点的形成时间是16—17世纪，过程为何如此漫长，这个问题至今仍然是一个谜。希腊神话中有命运女神堤喀（Tyche）；德谟克利特（Democritus）及其追随者假设，构建宇宙的所有原子都会受到某种物质偶然性的影响；卢克莱修（Lucretius）在《物性论》（De Rerum Natura）中指出，这种偶然性就是原子的偏离；古埃及人和古巴比伦人学会了用指关节骨或骰子玩概率游戏，到了罗马时期，这种游戏流行开来，士兵们通过抽签决定基督斗篷的归属。后来，古希腊学园派怀疑论者将概率视为人生的指南。不过，这些时期似乎都没有出现有关概率的定量理论。

想一想，我们是怎么测量东西的？以长度为例，我们会先找到一个长度标准，然后计数某个东西包含多少个这样的标准长度。比如，在我们用脚步测量距离时，这个长度标准就是我们的脚。但是，不同的脚有可能得出不同的测量结果，因此，1522年，有人提议改进法定路德（杆）的确定方法。如图1–1所示，当人们从教堂鱼贯而出时，将排成一列的16个人的脚的总长度设定为法定路德。从图1–1可以看出，这些人的脚长度不一，但通过一群人来设定这个长度单位具有明显的平均效应，因此很多人接受了这个方法。不过，当时似乎还没有人明确提出平均数这个概念。

图1-1 法定路德的确定

我们有必要指出，这个方法存在哲学上的异议。我们的目的是定义长度，但在用脚长测量距离时，我们已经假定我们采用的长度标准等长。因此，这是一个循环论证的过程。

任何有头脑的人都不会因为这个异议而放弃用脚长测量距离的方法。我们的测量活动就始于此，最终建立并完善了长度的概念。脚的长度因人而异，路德会长短不一，标准米尺的长度在足够高的精度条件下也会各不相同。借助物理学知识，我们可以不断改进长度测量方法。因此，这确实是一个循环论证的过程，但它并不是一个致命的缺陷，反而为我们指明了一条趋于完善的道路。

概率的测度同样如此。在测度之前，我们先要找到（或者制造）同等可能性的情况，然后计数这些情况发生的次数。于是，事件A的概率，记作P(A)，为

P(A)=

注意，从上式可知：

1. 概率永远不会是负值；

2. 如果所有可能发生的情况中均包含事件A，则P(A)=1；

3. 如果事件A和事件B不会同时发生，则P(A或B)=P(A)+P(B)。

此外，某个事件不会发生的概率等于1与该事件发生概率的差：

P（非A)=1–P(A)。

这个概念虽然十分简单，但如果运用得巧妙得当，就会产生令人惊讶的效果。我们以生日问题为例。如果不考虑闰年，并且假设出生日期的概率均相等，每个人的生日相互独立（即没有双胞胎），那么房间内的所有人中至少有两个人的生日在同一天的概率是多少？如果你以前没有见过这个问题，它的答案肯定会让你大吃一惊。

一群人中有人生日在同一天的概率等于1减去所有人生日均不相同的概率。第二个人与第一个人的生日不同的概率为（364/365）。如果前两个人的生日不同，那么第三个人的生日与他们俩都不相同的概率为（363/365），以此类推。因此，N个人中有人生日相同的概率为

1–。

如果你对同额赌注感兴趣，就可以利用上述公式，找到使输赢概率趋近1/2的N的值。当房间里一共有23个人时，生日相同的概率会略高于1/2。如果房间里有50个人，这个概率就会接近97%。

人们经常利用生日问题来考虑一些令人吃惊的巧合情况，因此生日问题出现了很多变种。比如，两个美国人的生日相同，而且他们的父亲、祖父和曾祖父生日相同的可能性大到令人吃惊的程度。为帮助大家应对这些问题，本堂课内容的附录部分给出了一些有用的近似值。最后，本书在结尾部分又利用这些近似值，证明了菲尼蒂定理。现在，大家只要知道“等可能情况”这个基本结构应用广泛和深入就可以了。