2.5　白噪声

2.5.1　纯随机序列

拿到一个观察值序列之后，首先判断它的平稳性。通过平稳性检验，序列可以分为平稳序列和非平稳序列两大类。

对于非平稳序列，由于它不具有二阶矩平稳的性质，所以对它的统计分析要复杂一些，通常要进行进一步的检验、变换或处理之后，才能确定适当的拟合模型。

如果序列平稳，情况就简单多了，我们有一套非常成熟的平稳序列建模方法。但是，并不是所有的平稳序列都值得建模。只有那些序列值之间具有密切的相关关系，历史数据对未来的发展有一定影响的序列，才值得我们花时间去挖掘历史数据中的有效信息，用来预测序列未来的发展。

如果序列值彼此之间没有任何相关性，那就意味着该序列是一个没有记忆的序列，过去的行为对将来的发展没有丝毫影响，这种序列我们称之为纯随机序列。从统计分析的角度而言，纯随机序列是没有任何分析价值的序列。

为了确定平稳序列还值不值得继续分析下去，我们需要对平稳序列进行纯随机性检验。

2.5.2　白噪声过程

时间序列分析的主要内容是对时间序列建模，而时间序列模型中的随机性往往是通过白噪声（Whitenoise）过程来引入的。白噪声过程可谓是构建时间序列模型的基石。

定义：若满足零均值、同方差和非自相关，即：

对所有的t和s≠t成立，则称为白噪声过程，通常可记作特别地，如果εt服从正态分布，则称为正态白噪声过程或高斯白噪声过程。

从白噪声过程的定义可以看出，它满足平稳性条件，因此白噪声过程是一种特殊的平稳性过程。白噪声过程的显著特点是高度的随机性，也称纯随机性，即各时刻随机变量之间互不相关，因此就没有必要构建时间序列模型再去研究其相关关系。一般情况下，对一个时间序列进行研究，当各时刻随机变量之间所有的相关关系都已经通过建模被识别后，剩下的无须进一步研究的部分通常都是白噪声过程，也就是在这种意义上，白噪声过程成了时间序列模型的基本构件。

利用MATLAB根据定义可以很容易得到白噪声的序列图，比如产生均值为0，方差为1的白噪声序列图，如图2-5所示。主要实现方法是通过mvnrnd(0,1,1000)命令产生均值为0，方差为1的1000个随机数。

白噪声序列虽然很简单，但它在我们进行时间序列分析中所起的作用却非常大，它的两个重要性质我们在后面的分析过程中要经常用到。

1.纯随机性

由于白噪声序列具有如下性质：

这说明白噪声序列的各项之间没有任何相关关系，这种“没有记忆”的序列就是我们说的纯随机序列。纯随机序列各项之间没有任何关联，序列在进行完全无序的随机波动。一旦某个随机事件呈现出纯随机运动的特征，我们就认为该随机事件没有包含任何值得提取的有用信息，我们就应该终止分析了。

如果序列值之间呈现出某种显著的相关关系：

就说明该序列不是纯随机序列，该序列间隔期的序列值之间存在一定程度的相互影响关系，这种相互影响的关系，统计上称为相关信息。我们分析的目的就是要想方设法把这种相关信息从观察值序列中提取出来。一旦观察值序列中蕴含的相关信息被我们充分提取出来了，那么剩下的残差序列就应该呈现出纯随机的性质了，所以纯随机性还是我们判断相关信息是否提取充分的一个判别标准。

2.方差齐性

所谓方差齐性，就是指序列中每个变量的方差都相等，即：

如果序列不满足方差齐性，我们就称该序列具有异方差性质。

在时间序列分析中，方差齐性是一个非常重要的限制条件。因为根据马尔可夫定理，只有方差齐性假设成立时，我们用最小二乘法得到的未知参数估计值才是准确的、有效的。如果假设不成立，那么最小二乘估计值就不是方差最小线性无偏估计，拟合模型的预测精度会受到很大影响。

所以我们在进行模型拟合时，检验内容之一就是要检验拟合模型的残差是否满足方差齐性假定。如果不满足，那就说明残差序列还不是白噪声序列，即拟合模型没有充分提取随机序列中的相关信息，这时拟合模型的精度是值得怀疑的。在这种情况下，我们通常需要使用适当的条件异方差模型来拟合该序列。