2.1 二项检验与p值的估计

二项分布是一种具有广泛用途的离散型随机变量的概率分布，它是由贝努里始创的，所以又叫贝努里分布。二项分布是指统计变量中只有性质不同的两项群体的概率分布。所谓两项群体是按两种不同性质划分的统计变量，是二项试验的结果，即各个变量都可归为两个不同性质中的一个，两个观测值是对立的，因此二项分布又可说是两个对立事件的概率分布。二项分布描述了n次试验中恰有k次成功的概率。

只要运用得好，二项检验可用来检验几乎所有的假设和所有类型的统计数据分析。在某些场合，二项检验是最有效的检验，这时检验是用参数和非参数统计来要求的，而在另外一些场合，二项检验是比较有效的，我们只能用非参数统计来要求。然而，即使是在比较有效的情形下，人们也更愿意选用二项检验，因为它操作简单，易于解释，有时它有足够的有效性，使得在应该拒绝零假设时足以拒绝原假设。

现在我们正式介绍二项检验，并同时介绍二项检验的格式。为了方便非参数方法使用者掌握，现在我们叙述一下二项检验的格式。

2.1.1 二项检验

1.数据

样本中包含n次独立基本试验的结果，每个结果或者是“类1”或者是“类2”，但两类不能同时出现。类1的观测数即出现类1的次数是O1，那么类2的观测数是O2=n-O1。

2.假设条件

（1）n次基本试验相互独立。

（2）每次基本试验都以概率p出现结果“类1”。

3.检验统计量

由于我们关注的是结果“类1”出现的概率，我们令检验统计量T表示结果为“类1”的次数，即

4.零分布

令p*是零假设中给定的概率。T的零分布是参数为p=p*，n=样本容量的二项分布。对于n≤20和选定的p值，二项分布表中列出了T的零分布。

对其他的n值和p值，我们可以用正态分布近似，即T的q分位数xq可以自下式近似给出

其中，我们由正态分布表知，zq是标准正态随机变量的q分位数。

5.假设

令p*是某个给定的概率，0≤p*≤1，假设可以是下列3种形式之一。

（1）双边检验：

H 0:p=p*

H 1:p≠p*

理想水平α的拒绝域对应于T零分布的两边，其中左边水平为α1，它近似于α/2，右边水平为α2，也是近似于α/2，其真实的显著水平是a1+α2，由于T的离散性，这一真实显著水平很少为α。

因此，对于给定的特殊p*和n的值，我们从二项分布表中找到t1，使得

并找到t2，使得

其中，Y是参数为p*和n的二项随机变量。

如果n＞20，为大样本，我们可以用正态分布逼近，即用（2-2）式去近似t1，t2，其中t1，t2分别是参数为p*和n的二项随机变量的α/2分位数和（1-α/2）分位数，只要在（2-2）式中分别令q=α/2和q=1-α/2即可。

如果T≤t1或T≥t2，则拒绝H0，否则接受零假设。

p值（尾概率）是两概率P（Y小于或等于观测值T）和P（Y大于或等于观测值T）中较小的一个的2倍，对于n≤20，p=p*，p值可以从二项分布表中获得；对于n＞20，可利用正态分布表和如下近似公式获得：

和

其中，引入0.5是改进二项分布正态逼近的一种“连续性修正”。

（2）左单边检验：

H 0:p≥p*

H 1:p＜p*

由于小的T值预示着H0是假的，于是水平为α的拒绝域是{T：T≤t}，其中t由二项分布表获得，参数为p*和n。所以

其中，Y是参数为p*和n的二项随机变量。

如果n＞20，我们就用正态逼近，即用（2-2）式去近似t，其中t是参数为p*和n的二项随机变量的α分位点，只要在（2-2）式中令q=α即可。

如果T≤t，则拒绝H0，否则接受零假设。

p值是概率P（Y小于或等于观测值T），当n≤20，p=p*时，它可从二项分布表中获得；如果n＞20，可利用正态分布表和如下近似公式获得

其中，引入0.5是改进二项分布正态逼近的一种“连续性修正”。

（3）右单边检验：

H 0:p≤p*

H 1:p＞p*

因为大的T值预示着H0是假的，于是水平为α的拒绝域是{T：T≥t}，其中t由二项分布表获得，参数为p*和n。所以

其中，Y是参数为p*和n的二项随机变量。

如果n＞20，我们就用正态逼近，即用（2-2）式去近似t，其中t是参数为p*和n的二项随机变量的1-α分位点，只要在（2-2）式中令q=1-α即可。

如果T＞t，则拒绝H0，否则接受零假设。

p值是概率P（Y大于或等于观测值T），当n≤20，p=p*时，它可从二项分布表中获得；如果n＞20，可利用正态分布表和如下近似公式获得

其中，引入0.5是改进二项分布正态逼近的一种“连续性修正”。

一些计算机软件包可以进行这种检验并给出p值，如R语言。基于R语言的二项分布假设检验程序如下：

在R语言软件中，用binom.test（）进行二项分布检验和估计。

binom.test(x,n,p=0.5,

alternative=c("two.sided","less","greater"),

conf.level=0.95)

其中，x是成功的次数，或是一个成功次数和失败次数构成的二维向量；n是试验总数，当n是二维向量时，此值无效；p是原假设成功的概率；alternative是备择假设，two.sided表示双边检验，less表示单边检验小于某一个值，greater表示单边检验大于某一个值；conf.level是置信水平，即1-α，通常为0.95。

下面看一个例子：

一项调查显示某城市老年人口比重为14.7%。该市老年协会为了检验该项调查是否可靠，随机抽选了400名居民，发现其中有57人是老年人。问调查结果是否支持该市老年人口比重为14.7%的结论（α=0.05）？

解：根据题意，所检验的问题为：

H 0:p=p0=0.147

H 1:p≠p0

调用binom.test（）函数

R语言程序如下：

>binom.test(57,400,p=0.147)

输出结果：

Exact binomial test

data:57 and 400

number of successes=57,number of trials=400,p-value:0.8876

alternative hypothesis:true probability of success is not equal to 0.147

95 percent confidence interval:

0.1097477 0.1806511

sample estimates:

probability of success

0.1425

结果分析：

p-value=0.8876>0.05，接受原假设，即调查结果支持该市老年人口比重为14.7%的结论。

6.理论

通过比较二项检验中的假设，我们很容易看出，二项检验中的检验统计量是二项分布的，即如果T等于基本试验结果中“类1”的个数，其中基本试验是相互独立的，且每次基本试验得“类1”结果的概率为p（如假设中所陈述的），那么T服从参数为p和n的二项分布。当零假设成立时，拒绝域的大小在p等于p*时达到最大。所以对于参数n和p*，二项分布表可用来确定α的精确值。

假设检验只是统计推断中的一个分支。现在我们来讨论另外一个分支，即区间估计（interval estimation）。如果我们想对某个总体的一个未知参数做出某些推断，合理的做法是抽查这个总体中的一个随机样本，并基于这个样本得出有关这个总体参数的一些推断，这种推断可能是“总体参数在a和b之间”，其中a和b是由样本得到的两个实数。由于a和b是由样本值计算得出的，因而是两个统计量的实现值。这两个统计量提供了区间的左端点和右端点，我们分别用L和U代表“左”和“右”。从L到U的区间称为区间估计量（interval estimator）。总体未知参数落在此区间内的概率称为置信系数（confidence coefficient）。区间估计量和置信系数给我们提供了置信区间（confidence interval）。

未知一个特定事件发生的概率p，寻找p的置信区间的方法与二项检验密切相关。

2.1.2 概率或总体比例的置信区间

1.数据

察看含有n个独立基本试验观测值的样本，并记Y为指定事件发生的次数。

2.假设条件

（1）n次基本试验互相独立。

（2）从一个基本试验到另一个基本试验，指定事件发生的概率p是常数。

方法一：对于n≤30，利用二项参数p的精确置信区间表，置信系数是0.90，0.95或0.99。只需给出样本值n和观测值Y，我们就可以利用该表，在对应栏里的交叉处，找到所需置信区间的左限和右限。

方法二：对于n＞30或置信系数没有在二项参数p的精确置信区间表中列出的，则用下列正态分布逼近：

和

其中，z1-α/2是正态随机变量的分位数，它可从正态分布表中查出，其置信系数近似于1-α。

为了方便理解，在下面例子中将使用两种方法来计算置信区间。

【例2.1】在某省随机选择20所高中，来检查它们是否达到国家教委提出的优秀标准。调查发现有7所学校达到优秀，并因此被评为“优秀”，那么该省所有高中符合评为“优秀”的比例p的95%置信区间是什么？

方法一：首先，我们假设该省高中的数量足够多，使得高中被评为“优秀”和“不优秀”是相互独立的。

因为我们假设抽取是随机的，那么对于所有学校p是相同的，它代表一个随机抽到的学校被评为“优秀”的概率。

因为n=20，Y=7，我们可以利用二项参数p的精确置信区间表，由二项参数p的精确置信区间表给出的精确95%置信区间是［0.154，0.592］。

方法二：用基于中心极限定理的正态分布逼近，可得：

和

由正态分布逼近得到的置信区间是［0.141，0.559］，它接近于精确区间，但是仍能看出它们的差距，这表明用精确置信区间的好处是显然的。

3.理论

对于上面介绍的精确方法一，如果用双边二项检验，置信区间包括所有p*值，使得从样本中获得的数据能够接受

H 0:p=p*

更确切地说，如果我们想形成一个（1-α）的置信区间，就需要观察样本并确定Y值，那么我们要问：“对于给定的Y，我们用什么p*值，使得假设H0：p=p*的一个双边二项检验（α水平）可以接受H0？”即这些p*值应在置信区间中，而拒绝H0的p*值应当不在置信区间中。由于二项检验的每一边有概率α/2，对于给定的Y值，譬如说它是y或更大的值，用仅产生拒绝H0的p*来作为L的选取，则p*的选择应满足

所以。然后对同样的y值，另一个p*的选择应仅产生拒绝域的左边，即满足令，我们知道（2-15）式和（2-16）式不可能用代数求解，只能通过搜索程序在计算机上求解而得到二项参数p的精确置信区间表。

关于二项参数p的置信区间的更多内容，可参见Clopper和Pearson（1934）的有关论述。

对于L和U的大样本逼近，即如果Y是一个二项随机变量，具有参数为p和较大n，那么

是一个近似于标准正态分布的随机变量。那么，如果z1-α/2是正态分布表中1-α/2的分位数，并注意到zα/2=-z1-α/2，故有

对求概率中的不等式两边乘以-1，不等式改变方向

调换顺序，得

再除以n，得

更进一步地近似，在（2-18）式的根号中用估计量Y/n来估计p，得到

其中，L和U与（2-11）式和（2-12）式中的相同。这后面用Y/n对p的近似，其结果与置信区间和假设检验略有不同，当样本量较大时，两者都可以用。

在上述过程中，把L，U同时乘以样本容量n，这样nL和nU就给出了nP的置信上、下限，它可用来检验包括二项随机变量均值在内的假设，因为

H 0:p=p*

等价于

H 0:np=np*

其他求二项分布置信区间的方法可参见Anderson和Burstein（1967，1968）。Quesenberry和Hurst（1964）及Goodman（1965）则给出了处理多项式比例的联合置信区间的方法。