5．一元二次方程实根的分布

如果函数y=f（x）在［a，b］上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）<0，那么函数y=f（x）在（a,b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c就是方程f（x）=0的根.

此结论称为零点（根的）存在定理.

一、正确理解韦达定理

若方程ax2 +bx+c=0 （a≠0）的根为x1，x2，则.

此结论只是一种代数形式，在实数中不可逆.即方程ax2 +bx+c=0 （a≠0）的两实根为x1，x2，则；但满足的x1，x2未必为实数.

由此引出新的问题：；但由得不到.

例如，满足，无实数a，b.

等价关系：（1）.

（2）.

二、二次方程根的分布

二次方程问题就是其相应二次函数的零点问题.因此，二次方程实根在指定区间的讨论，可以使用“韦达定理+判别式”，但借助于二次函数的图像是明智的，常用数形转化：“题目⇔函数⇔图像⇔不等式（端点，判别式，对称轴）”.端点够用直接做题，端点不够用才加判别式和对称轴，而且“判别式和对称轴”同时出现.

例如：设f（x）=ax2 +bx+c（a≠0），且f（m）≠0，f（n）≠0（m＜n），则

（1）方程f（x）=0在（m，n）上有一个单根的充要条件是f（m）f（n）＜0；

（2）当a＞0时，方程f（x）=0在（m，n）上有两个不等根的充要条件是

（3）当a>0时，方程f（x）=0的两根在k两侧的充要条件是f（k）<0.

一般地，二次函数f（x）=ax2 +bx+c（a＞0）在（m，n）（m＜n）上只有一个零点的充要条件是：f（m）f（n）＜0或或或.

三、例题分析

例1 方程x2-2ax+4=0的两根(含等根)均小于0，求实数a的取值范围.

方法一（求根）：解得方程根为，只要解出即可.解之得a＜-2.

方法二（韦达定理+∆）：⇔ a≤-2.

方法三（函数图像法）：令f（x）=x2 -2ax+4，

方程x2 -2 ax+4=0的两根（含等根）均小于0⇔函数f（x）=x2 -2 ax+4图像只与x轴负半轴有交点（含切点）.

例2 方程x2-2ax+4=0有一根在（1,3）内，另一根比3大，求实数a的取值范围.

解：令f(x)=x2-2ax+4，

例3 a为何值时，方程x2 +2（a-1）x+4=0分别有

（1）两正根；（2）两根都大于1 （含等根）.

解：（1）⇔⇔ a≤-1.

（2）解法一：⇔⇔ a≤-1.

但当a=-2时，方程为x2 -6x+4=0，两根为（小于1），矛盾.解法有误.

解法二：⇔＜a≤-1.

解法三：令f（x）=x2 +2（a-1）x+4，f（x）的零点都大于1，即

若在闭区间上，最好端点为根要单独讨论.

例4 方程x2+(a-1)x+1=0在［0,2］内有两个不同的根，求a的取值范围.

解：令f（x）=x2 +（a-1）x+1，f（x）的图像交x轴于[0，2]内，即

变式：方程x2 +（a-1）x+1=0在[0，2]内有一个根（含等根），求a的取值范围.答案：.

四、综合题分析

例5 已知两点P(0,1)和Q(2,3)，如果二次函数f(x)=x2+ax+2的图像与线段PQ有两个不同的公共点，求实数a的取值范围.

分析：线段PQ的方程为y=x+1(0≤x≤2).

把y=x+1代入y=x2 +ax+2中，得x2 +（a-1） x+1=0.（*）

f(x)的图像与线段PQ有两个不同的公共点，即方程(*)在［0,2］上有两个不同的实根，即二次函数g(x)=x2+(a-1)x+1与x轴有两个交点，且两交点都在［0，2］内.

∴有≤a＜-1.

解之可得，实数a的取值范围是≤a＜-1.

例6 求函数的值域.

解：变形得，x2 +（2-y）x+（y-1）=0

令f（x）=x2 +（2-y）x+（y-1），此函数在内至少有一个根的条件为

（1），或（2）

（1）

（2） f(-1)=2y-2＞0⇔ y＞1,

（1）与（2）求并集，得，

∴函数的值域为.

（方程思想、等价转化思想）

思考：此题还有其他解法吗?

可令，，令，-=，.

例7 已知a是实数，函数f(x)=-2acos2x+2sinx-3+a，如果函数y=f(x)在R上有零点，求实数a的取值范围.

解：f(x)=-2acos2x+2sinx-3+a=2asin2x+2sinx-3-a

函数y=f(x)在R上有零点，相当于方程g(x)=2ax2+2x-3-a=0在［-1，1］上有解.

当a=0时，不符合题意.

所以a≠0，方程g（x）=0在[-1，1]上有解⇔g（-1）·g（1） ≤0或⇔ 1≤a≤5或a≤或a≥5 ⇔或a≥1.

所以，实数a的取值范围是或a≥1.

五、引申推广：方程根分布方法及解题范围的延拓

方程根分布方法是较麻烦的方法，主要是范围带来复杂性.我们可以选择较容易计算的范围，或在不产生增根的情况下，将范围进行延拓.

例8 直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的左支交于A，B两点，求k的取值范围.

分析一：由

消y得，

由题意，直线y=kx+1与双曲线x2 -y2 =1的左支交于A，B两点⇔方程组①在x≤-1上有两组解⇔方程②在（-∞，-1]内有两解.

首先1-k2≠0，即k≠±1.

②可变为x2 -=0.

令，

原题等价于函数f（x）与x轴在（-∞，-1]上有两个交点，即

分析二：由题意，直线y=kx+1与双曲线x2 -y2 =1的左支交于A，B两点⇔方程组①在x≤-1内有两组解.而在方程x2 -y2 =1中隐含了x＜-1或x＞1，所以只要方程在x＜0内有两解，此两解就必在x≤-1内.由此可简化解题过程.

方程组①在x≤-1内有两组解，等价为方程组①在x＜0内有两组解⇔方程②在（-∞，0）内有两解，即

分析三：又可将区间延拓到x<1内有两解.

方程（1-k2 ）x2 -2kx-2=0在（-∞，-1）内有两解⇔

函数（k≠±1）与x轴在（-∞，1）上有两个交点，即

练习5

1．关于x的方程mx2 +（2m+1） x+m=0有两个不等的实根，则m的取值范围是（　）.

A．

B.

C．

D．∪ (0,+∞)

2．若方程x2-(k+2)x+4=0有两负根，求k的取值范围.

3．若方程3x2 +（m-5）x+7=0的一个根大于4，另一个根小于4，则实数m的取值范围是___________.

4．若方程x2 -2tx+t2 -1=0的两个实根都在-2和4之间，则实数t的取值范围是___________.

5．设α，β是关于方程x2-2(k-1)x+k+1=0的两个实根，求y=α2+β2关于k的解析式，并求y的取值范围.

6．当m取什么实数时，方程4x2+(m-2)x+(m-5)=0分别有:

（1）一正根和一负根；（2）正根绝对值大于负根绝对值；（3）两根都大于1.

7．已知方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k的取值范围.