一、关于数概念的内涵的不同看法

关于数概念的内涵，或者作为对象的数的性质，欧几里得在《几何原本》第七卷给出的、传播了两千多年的定义经常被拿出来反复讨论：

定义1：单位是这样的东西，借助它，各个存在的事物被称为一。

定义2：数是由一些单位构成的多。

这两个定义把数归结为更加基本的概念：一或单位，以及由一组成的多。但是这个定义并没有说明一和多分别是什么，尤其没有说明，到底是什么原因使得各个存在的事物能够被称为一，以及什么是一。这为后来者留下了广阔的阐释以及争论空间。弗雷格在《算术基础》中曾总结了历史上关于一和数的性质的一些看法，并在批判它们的基础上提出了自己的观点。下边将以《算术基础》为基础来展开论述。

一种观点认为事物被称为一，是因为它们都带有某种性质，通过对这种性质的抽象，就产生了“一”。这种观点把“一”和诸如颜色、形状等性质并列在一起，区别仅仅在于后边这些性质不如“一”这种性质那么普遍。所有事物或对象(不仅仅是物质性的物，也包括天使、念头等等)都具有一种叫作“一”的性质，把这种性质抽象出来就得到了“一”。导致这种观点的一个原因是语言表达习惯。“在语言中，数一般总以与硬的、重的、红的这些指外在事物性质的词相似的形容词形式或在相似的定语联系中出现。”比如“一座城市”(eine Stadt)和“聪明的人”(weiser Mann)。弗雷格认为这种观点会带来许多麻烦：

(1)性质是规定，规定意味着把所规定的东西与其他东西区分开来。因为有些人是不聪明的，说“梭伦是聪明的”才有意义。但是“一”这种性质无法带来任何区别，其外延包罗万象，相应地其内涵就消失殆尽。

(2)形容词可以转化为谓语，比如“聪明的梭伦”即“梭伦是聪明的”，但是“梭伦是一”这个表达式孤立地看没有意义。此外，可以把“泰勒斯是聪明的”和“梭伦是聪明的”合为“泰勒斯和梭伦是聪明的”，但是不能说“泰勒斯和梭伦是一”。

(3)通过抽象得不到一：“通过抽象人们也许会得到下面这些概念：地球的伴星、一颗行星的伴星、自己不发光的天体、天体、物体、对象；但是在这个序列中不能出现1。”

(4)同一个事物，可以给出完全不同的数的规定：“我们可以把《伊利亚特》理解为一首诗，理解为24章或理解为许多行诗。”

另一种观点则认为，“一”是主观的东西。英国经验论者大体都持这种观点，比如洛克(John Locke)对数概念的描述：“数目是最简单最普遍的观念——在我们所有的一切观念中，单位观念或单一观念是由最多的途径进入人心的，可是同时它又是最简单的一种观念。它并没有含着任何复杂组织底迹象，可是我们感官所知觉的每一物体，理解中的每一观念，心中每一思想，都带着这种观念。因此，这个观念是我们思想所最熟悉的一个观念，亦是最普遍的一个观念，因为它同任何事物都可以契合。因为数可以适用于人、天使、行动、思想以及一切现存的和一切能想象到的事物。”

贝克莱(George Berkeley)虽然不完全同意洛克的说法，但同样把一以及数看作是主观的，是“心灵的创造”:“应该看到，数绝不是在事物本身实际存在的固定和确定东西。当心灵考虑一个观念本身或一些观念的组合，并想要为之命名，从而使之适合一个单位时，数完全是心灵的创造。随着心灵以不同方式组合其观念，单位发生变化，而且正像单位发生变化一样，仅仅是单位聚合的数也发生变化。一扇窗户=1；一间有许多窗户的房屋=1；许多房屋构成一座城市。”

弗雷格对此观点的反驳就是人们熟知的对心理主义的反驳：“数既不像密尔的小石子堆和姜汁糕点那样是空间的和物理的，也不像表象那样是主观的，而是不可感觉的和客观的。客观性的基础绝不在作为我们心灵作用的完全主观的感觉印象之中。在我看来，客观性的基础只能在理性之中。如果最严格的科学应该依据无把握的、尚在摸索中的心理学，这将是令人奇怪的。”

涉及“一”的另一个困难是如何解释诸一或诸单位之间的相同性(Gleichheit)和相异性(Verschiedenheit)。这个困难表现为：一方面，人们需要诸一之间的相同性，否则就无法确定诸一相加的结果，1+1=2而不是=3或4，前提是两个1的相同性；另一方面，人们又需要1和1的相异性，如果没有这种相异性，诸1就融合成为了一个1。

弗雷格给出的方案如下：一以及数并不直接关联在客观的外物或主观的观念或心灵能力，而是和概念相关，一种理性的客观物：“数的给出包含着对一个概念的表达。”例如，当我们说“木星卫星的数目”时，这个“数目”直接关联的是“木星的卫星”这个概念。为此弗雷格区分了两种不同类型的概念结合：诸如“木星的卫星”与“形状”这样的结合形成了“木星卫星的形状”，这种结合是对概念所统摄的对象的进一步规定，我们可以称这些概念为一阶概念，它们所统摄的对象是一阶对象，但是“木星的卫星”与“数目”的结合形成“木星卫星的数目”则是另一种类型的概念结合，它首先不是对“木星的卫星”的对象如木卫一、木卫二等的进一步规定，而是对“木星的卫星”这个概念的进一步规定，由此我们可以把“数”或“数目”称为二阶概念。就此而言，弗雷格认为“数”和“存在”是类似的。

概念的作用就是“以明确的方式划清处于其下的东西”。由此出发，弗雷格认为，当人们在说单位的相同性和相异性时，是在两种不同的意义上来谈论单位的。相同性的单位就是上边所说的概念。这个概念是同一的，比如，木卫一和木卫二都关联着同一个概念“木星的卫星”。而当人们在谈论单位的相异性时，指的则是处于概念之下的各个对象之间的差异性，例如木卫一和木卫二的差异性。

然后是界定诸概念的数目之间的“等数”关系，为此弗雷格使用了莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz)的一一对应关系来定义：“属于概念F的数和属于概念G的数相等”，由此也就可以得出，属于概念F的数同时也就属于所有与概念F的数等数的概念。因此只要找到某个概念，定义了它的数，也就定义了与这个概念的数等数的所有概念的数。弗雷格选择了概念“不与自身同一”来定义0:0是“与‘不与自身同一’这个概念等数”这个概念的外延。后继概念即“一个数n在自然数序列中直接位于m 之后”概念是这样来定义的：“有这样一个概念F，和这样一个属于它的对象x，使得属于概念F的数是n，属于‘属于F，但不同于x’这个概念的数是m。”接下来，弗雷格将1定义为0的后继。最后，他还给出了n为一有穷数(即自然数，也称归纳数，归纳基数)的定义：n属于“从0开始的自然数序列”。

胡塞尔同意，数概念并非表示外在事物的性质，但是他对弗雷格的心理学批判不以为然，而且还把弗雷格的定义斥为“没有基础的、在科学上是无用的”，仅仅是因为某些形式特征而被一些数学家和哲学家所采用。(H ua Ⅻ,96)在他看来，数学家们有时候过于强调“只有经过严格定义的概念才是合法的”这个原则，以至于他们试图去定义一些无法定义的基本概念。对相等以及数概念本身的定义就属于这一类。这些无法定义的基本概念，在胡塞尔看来只能通过弗雷格所鄙弃的心理学方法来分析其内涵：通过分析我们的意识行为(确切地说是表象行为)来澄清概念内涵。因为基本概念最终是从日常生活中的一些现象中抽象出来的，我们必须通过分析这个抽象过程来澄清，哪些因素是在抽象过程中被保留下来的、为所有现象所共有的，它们就是概念的内涵。而这个分析过程就需要用到他学自于布伦塔诺的描述心理学的方法。

为此，在胡塞尔看来，欧几里得的定义尽管并没有向我们指明什么是一或单位，什么是多，但是这个定义给出了一个出发点，指示了一类需要进一步分析的现象，而数概念正是从这类现象当中产生的。