绪论
观察自然界或研究工程技术，机械运动是一个经常碰到的普遍现象.研究物质机械运动和平衡的规律是力学的任务（注：当然，这是就力学的狭义理解而言的.）.
除史前期（以Galileo，Kepler的工作为代表）以外，力学学科的开始可以算自1687年Newton的《自然哲学的数学原理》［1］一书的出版.这本书，Lagrange称之为“人类智慧的最伟大的产物”.从那时至今，约有三百多年.我们可以大致以一百年为一段，把这三百年分成三个阶段.下面的表格粗略地回顾了这三百年力学发展各个阶段的特征.
作为力学学科的开创人物——Newton，他的重大贡献是：找到了制约自然界物质机械运动的相当普遍的规律，同时也发明了研究这种规律的数学方法——微积分，也就是今天发展成为“分析”的数学学科.Newton的原理及其方法的成就使得当时科学界不少人产生这样的观念：好像已经找到了制约自然界一切运动的根本规律，一切都可以纳入Newton的模式来加以理解和认识了.
但是，人们在研究实践中发现问题不是那么简单.实际的困难至少来自这三个方面：
第一，Newton的模式把影响物体运动的原因统统归结为力.而实际上，大量的运动是受约束的运动.原则上说，约束对运动的作用虽确可以归结为力，但这些力就像未知的运动一样，是有待决定的.因此，如果局限在Newton的力学模式中，寻求受约束系统的运动就产生了困难.换句话说，Newton的模式对研究受约束系统的力学是不方便的.
仅从概念上说，约束（至少是几何约束）的作用可以看成是沿约束面法向强度极大的吸力场作用的极限（见1.5.1小节）.采用这种看法似乎可以不把约束作为独立的动力学基本因素，而仅研究Newton的模式.但可惜的，这种想法对动力学的研究来说并不富有成果.动力学也可以走另一个极端，这就是Hertz的理论［2］.他完全摒弃力这个概念，而仅以约束为基础.这样的做法也是不自然的.Lagrange走的是中间道路，在他的体系中［3］，力和约束都作为动力学的基本因素.既承认力的作用，又承认约束的作用.我们今天的分析动力学仍然本着Lagrange的这个思想.
第二，数学的困难：建立了动力学原理或者建立了系统的动力学方程，并不是研究的终结.因为我们并没有一般的办法去找到动力学方程的积分.这就像微分方程理论中Liouville关于Riccati方程的研究结果一样（注：具体内容读者可以参阅秦元勋的《微分方程所定义的积分曲线》上册.），使得动力学方程的求解问题成为一个一直需要研究的课题.在力学上，著名的结果是关于重刚体绕不动点的转动问题和三体问题，在一般情况下找不到足够的第一积分.这对于我们原来的愿望来说，是一个重大的打击.如何千方百计地去寻找较多的动力学方程积分以及如何最好地利用这些积分，成为古典数学力学家们努力的重要目标.在找不到动力学方程组足够的第一积分的情况下，如何研究力学系统的运动特性，如何定性地研究解的结构，如何定量地进行计算，这构成近代数学、力学中极为重要的课题.特别是分析动力学位形空间所具有的微分流形构造以及近年来关于奇异吸引子的发现，使得这些研究更具有丰富的色彩.
第三，物理上的困难：当人们天真地想把Newton的模式拿去研究光、电磁、微观粒子等现象时，碰到了像接近光速的相对论效应，微观粒子的波粒二象性等难题.在这种情况下，作为整个经典动力学的基本观念——时间的绝对性与时空分离的观念、质能分离的观念、运动的确定性描述观念等等都受到了挑战.在人们不得不承认新的物理事实之后，就极需要在已经成熟的经典力学理论中寻找那样一些理论的形式和方法，使得它能够顺利地摆脱经典概念的束缚，而且成为自然地过渡向非经典力学的桥梁.经典力学的分析动力学形式为这种过渡作出了最好的准备.
分析动力学是数学、力学研究者在克服上述诸困难中工作成果的部分记录.1788年，也就是Newton的经典著作发表之后约一百年，Lagrange完成了他的著作《分析力学》［3］.这开辟了经典力学的第二个阶段.这本著作在很大的程度上克服了Newton力学上述的第一个困难（并没有完全克服.在Lagrange的著作中还没有非完整约束的概念.非完整系统动力学是后来研究的成果），在一定的程度上克服了Newton力学的第二个困难.Lagrange得到了力学系统在完全一般性广义坐标描述下具有不变形式的动力学方程组，并突出了能量函数的意义.Lagrange系统实际上概括了比Newton力学要广泛得多的系统，同时它也提供了对力学系统的动力学、稳定性、振动过程作一般性研究的可能.在这方面的研究中，Liouville，Routh，Rayleigh，Ляпунов，Whittaker等人的成果最为著名.这些成果不但构成了Lagrange力学的重要内容，而且在更广泛的系统中（例如电气系统、控制系统等等）得到应用.Lagrange力学的另一重要发展是研究非完整系统.特别是非线性非完整系统的研究，导致了对分析动力学一系列基本概念，诸如虚位移、虚速度、dδ变换性、变分原理等作深入的探讨.非完整系统在工程技术上的重要性也促进了这种研究的发展.这种研究一直延伸到现在，并在最近一些年来受到很大的重视.
经典力学发展的第三阶段是和Hamilton的工作分不开的.Hamilton对光学和力学之间深刻联系的思想促进了他对经典动力学作出了创造性的研究.他的成就概要为两点：第一，力学的原理不仅可以按Newton的方式来叙述，也可以按某种作用量（数学上是某种泛函）的逗留值（有时是极小值）方式来叙述.第二，力学的状态描述和动力学方程可以找到一种优美的正则形式以及等价“波动形式”，这些形式有着极好的数学性质.Jacobi继续了Hamilton的研究.Hamilton-Jacobi方法不仅仅开辟了解决天体力学以及物理学中一系列重要的动力学问题的途径，同时作为波动力学的先导，给量子力学的发展提供了启示.按Hamilton所描述的经典力学原理和动力学方程的形式，最适宜于成为向现代物理学过渡的桥梁.在这方面，我们只要举出最小作用量原理提供了建立相对论力学和量子力学最简练的而富有概括性的出发点，以及Schrödinger方程、Heisenberg方程和Hamilton力学的紧密联系就可以说明.即使局限在经典范围内，Hamilton体系所包含的动力学现象也有着异常丰富的研究前景.非保守的经典动力学系统中奇异吸引子的发现以及有关所谓“混沌”（chaos）现象的研究模糊了确定性与随机性的界限，这是近年来关于动力学理论有基本意义的成果之一［4-6］.
最近一百年来，现代物理学的发展只是使经典力学失去了那种误认为可以“统率一切”的虚假的光辉，但并没有使它失去巨大的应用价值.近一百年来，现代应用力学的迅速发展就是明证.客观世界中宏观物质规律的错综复杂性以及力学方程组求解的困难，提供了应用力学长期研究的领域.分析动力学提供了这种应用力学研究最基本的原理和方法.由分析动力学研究所直接生长起来的关于振动、稳定性、陀螺、刚体与刚体系统、宇航器与天体力学的理论已经成为相当宽广的领域，而非线性力学、基于变分原理的直接法、可控体或生物体的动力学，以及有限自由度体系和连续体动力学之间的联系与过渡等等都正在受到很大的重视.有关这些问题的研究一定能更加丰富分析动力学的内容并大大开阔它的应用范围.