2.本书的目的、内容与写作策略

一 本书可以作为数学哲学的教科书

本书将介绍、分析、批评二十世纪的一些最主要的、最有影响的数学哲学思想。本书的目的并不是要全面介绍二十世纪数学哲学的历史。如果读者想要了解二十世纪数学哲学的详细历史，最好是从阅读经典的数学哲学论文集开始，比如Benacerraf and Putnam（1983）, Shapiro（2005）, Jacquette（2001）等等，然后再深入阅读相关的论文、著作。目前国际上似乎还没有较全面地论述二十世纪数学哲学史的著作，也许目前还没有到对二十世纪的数学哲学思想盖棺定论的时候。另外，本书的主要目的也不是为了作为二十世纪数学哲学的教科书。国际上已经有了几种数学哲学的教科书性质的书籍，如Shapiro（2000）。但为了适应广大读者，本书不会假设读者已经了解数学哲学。本书的第一章可以作为当代数学哲学的一个导论。而且，本书在分析、批评各种数学哲学思想之前，都用了很多的篇幅来介绍那些思想。因此，本书可以被用作数学哲学的教科书。

二 本书主要辅助论证了一种彻底自然主义的数学哲学

但本书的主要目的，是从自然主义的立场出发，分析二十世纪的主要数学哲学思想中的问题与难点，探讨一种彻底自然主义的数学哲学的必要性与可能性，并为笔者提出的一种彻底自然主义的数学哲学作辩护。

自然主义完全接受当代科学关于人类的物质构成与起源的解释，认为人类是物质进化的产物，人类的认知活动，包括人类的数学实践，都是物质世界中事件。自然主义拒绝从一个超自然的、独立于物质世界的心灵或所谓“超验自我”的角度出发，去提出或回答本体论与认识论问题，也拒绝任何从这样一个心灵或“超验自我”的角度出发的哲学思辨或玄想。自然主义的这种基本立场与通常所说的唯物主义是相符合的。自然主义（naturalism）也是当代分析哲学界的主要思潮之一。

当然，与任何一种哲学立场一样，自然主义也有种种形式。本书的主题是数学哲学，所以这里不直接为自然主义作辩护，也不打算仔细介绍、分析自然主义的各种形式。关于自然主义的一些还有争议的问题，如意识、意向性、自由意志以及认识论规范与道德规范在自然世界中的起源与位置等问题，都是当代分析哲学中的热点问题；自然主义的各种形式之间的差异，也是当代分析哲学的研究热点。对这些本书都无法论及。我们将在第二章明确地界定本书所接受的自然主义的那种形式。它是一种比较强的、比较彻底的自然主义。然后，本书将以这种形式的自然主义为前提，在这个自然主义的框架下分析、批评二十世纪主要的数学哲学思想。

本书中的研究是笔者的另一项研究的补充。在那项研究中，笔者提出了一种彻底自然主义的数学哲学，它也是反实在论的或唯名论的数学哲学。二十世纪的数学哲学已经有一些被冠以“自然主义”这个名称，其中包括在二十世纪后半叶最有影响的一个哲学家蒯因的“自然主义”数学哲学，以及从它发展出的其他一些数学哲学观点。但与这些也被称作“自然主义”的数学哲学理论相比，笔者提出的是一种真正彻底的自然主义的数学哲学。事实上，本书将说明，蒯因的数学哲学思想中的主要问题，恰恰来源于它有意无意地背离了自己公开宣示的自然主义的基本观念。

本书通过从自然主义的角度分析、批评二十世纪主要的数学哲学流派，从另一个角度为笔者所提出的那种彻底的自然主义的数学哲学作辩护。本书将试图说明，自然主义提供了一个非常清晰、明确的，而且是科学的概念框架，使得我们可以将传统哲学中的一些哲学概念与问题转化为科学的概念与问题，因此一些概念上的模糊不清之处可以得到澄清，对问题的回答也有科学的标准。也就是说，自然主义将一些哲学问题科学化。特别是，各个数学哲学流派中所包含的一些合理的想法，他们对数学实践所作的一些正确的观察，都可以被纳入到自然主义的框架中，可以在自然主义的框架下得到合理解释；他们所提出的一些概念之中的模糊不清之处，可以在自然主义的框架中得到澄清；在自然主义的框架下，他们的争论中那些令人困惑的地方都变得清晰起来，他们各自的思想中的内在冲突或潜在矛盾也清晰地显露出来。自然主义的概念框架给人带来一种豁然开朗的感受。

本书还试图说明，自然主义的框架将能够解决各个数学哲学流派各自所遇到的难题。更具体地说，对二十世纪的那些同情自然主义的数学哲学流派（比如蒯因及一定程度上的卡尔纳普），本书将试图论证，由于他们不能坚持彻底的自然主义，他们的思想中包含了一些内在的冲突乃至矛盾，而出路就在于走向彻底的自然主义。至于那些以明确的反自然主义的基本假设为出发点数学哲学流派（如哥德尔），本书试图说明，他们出于反自然主义的观念所遇到的那些难题，在自然主义的框架下是可以解决的科学问题，而他们思想中包含的对自然主义的反驳，其实是基于一些反自然主义的预设，因此，如果作为反驳自然主义的论证，那将是循环的论证，并不构成对自然主义的真正威胁。

三 本书的各章

本书的第一章将介绍数学哲学的基本问题，并简要说明二十世纪主要的数学哲学流派回答这些问题的思路，以及它们所面临的主要困难。这将为分析和划分二十世纪主要数学哲学流派提供一个框架，并作为当代数学哲学的一个导论，为读者理解本书后面对二十世纪主要数学哲学思想的更详细的介绍、分析、批评提供基础。本书第二章将介绍自然主义的基本观念及笔者提出的那种彻底自然主义的数学哲学。这将成为本书分析、批评二十世纪主要数学哲学思想的哲学基础与出发点。这一章仅仅是那种自然主义数学哲学的引论。关于它的更详细的论述，可参考该章所引的笔者的其他论文与著作。

从第三章开始，本书将介绍二十世纪的一些主要的数学哲学思想，并从自然主义的角度对它们作分析、批评。鉴于本书的目的不是完整地叙述二十世纪数学哲学的历史，也囿于篇幅上的限制，本书仅分析评述二十世纪数学哲学中一些最主要的思想、流派，将专注于对二十世纪数学哲学在整体上有较大影响的、已成为经典的数学哲学思想与流派，因此主要是二十世纪早期与中期的那些在今天已经成为经典的数学哲学思想。这首先包括二十世纪早期的逻辑主义、直觉主义与形式主义三大数学基础研究流派。虽然为数学提供基础已经不是今天的数学哲学研究的目标，这些早期数学基础研究流派中包含的数学哲学思想，一直是二十世纪数学哲学思想的源泉。其次，这还包括了二十世纪早期到中期的卡尔纳普、哥德尔、蒯因的数学哲学思想。它们在今天也已经成为经典。第三章将先介绍、分析十九世纪末的数学基础研究的状况，这是二十世纪初的数学基础问题研究的缘起。然后，第四至第九章将分别考察逻辑主义、直觉主义、形式主义、卡尔纳普与逻辑实证主义、哥德尔的数学哲学及蒯因的数学哲学。

本书的第三章至第九章是相对独立的，读者可以有选择地阅读。另外，本书最后一章将比较蒯因的自然主义与本书所支持的那种彻底的自然主义。这是对本书第一、二章的呼应，以此结束全书。仅仅对自然主义数学哲学感兴趣的读者，可以主要阅读本书的第一、二、九章。

四 本书未能涵盖的数学哲学

二十世纪后期的数学哲学出现了流派纷呈的局面，研究者们提出了许多新的想法。其中，有一些是对二十世纪早、中期的那些经典思想的修正。比如，C.Wright与B.Hale等人尝试修正与复兴逻辑主义，提出新逻辑主义；Burgess、Maddy、Colyvan等人对蒯因提出辩护、改进或修正；H.Field作了实质上是对形式主义的修正的尝试。也有一些人尝试引入新的观念来解释数学，如G.Hellman、C.Chihara、S.Shapiro等人的模态主义与结构主义，以及受拉卡托斯影响的拟经验论等等。从自然主义的角度看，分析这些数学哲学中的新想法也是有意义的工作，虽然这些想法中有哪些能够在未来的一段时间内站得住脚，成为有持续的影响力的思想，这一点在今天还很不明朗。鉴于本书的篇幅所限，而且鉴于有必要先介绍、分析与评述二十世纪的那些最重要的、最有影响的数学哲学的经典，本书将不讨论二十世纪后期的这些新的数学哲学思想。笔者期待有机会在另一著作中再详细介绍、分析与批评它们。

但这里需要指出，本书中对经典数学哲学思想的分析批评已经顾及到后来的思想家对这些经典思想的修正。还一个例外是，在讨论蒯因的那一章中，本书分析了最近几十年对所谓不可或缺性论证的质疑与辩护，这是二十世纪最后几十年的数学哲学研究的主要课题之一。这可以作为最近几十年的数学哲学的一个引论。

五 本书的写作策略

在涉及数学史及早期集合论与数理逻辑的历史的地方，本书将主要依据数学史及数理逻辑史专家们的著作而不是原始文献。比如，对十九世纪末至二十世纪初的数学基础研究的历史，对集合论的发展史等，国际上已经有不少专著论及，这些历史研究都超出了本书作者的能力范围，也不是本书的兴趣所在。当然，对于二十世纪早期的数学哲学思想的评述，还是以原始文献为基础。对于二十世纪早、中期的数学哲学思想，迄今为止学者们都已经作了大量的研究，有了大量的二手文献。本书对那些数学哲学思想的介绍、分析，吸收了一些后代学者的论述，对此本书都列出了参考文献。但由于本书的目的不是探讨数学哲学思想的发展，这里只是吸收采纳那些笔者认为正确的分析和评价，而不试图罗列、比较其他的不同的分析和评价，所以，本书对二手文献的引用将是有限的。

另外，一些对著名的数学哲学家思想的分析、评价已经是学界的常识，对这些本书将不去追踪它们的出处，也将略去参考文献，虽然这不意味着它们是本书独创的。这里需要说明一下，本书主要的、独创性的贡献，在于从笔者持有的彻底的自然主义的角度，去分析、批评那些数学哲学思想。

六 读者需要的预备知识

本书将尽可能地适应更大的读者群，包括有较强的哲学背景但很弱的数学或数理逻辑背景的读者，及有较强的数学或数理逻辑背景但很弱的哲学背景的读者。对相关的哲学概念，本书在引入它们时都作了简要的解释，以适应没有哲学背景的读者。对于所涉及的数学与数理逻辑知识，本书将尽量只假设读者具有科普程度上的了解而不是专业程度上的了解，比如，不假设读者了解严格的数学定义或证明。本书的大部分论述要求读者具备一些数理逻辑与集合论的科普性的常识，比如，知道什么是无穷集合、无穷基数，什么是形式系统，数学理论可以形式化、公理化等等。本书中的少部分具体的论述，比如第四章第一、三节中对弗雷格的逻辑系统的描述及对罗素悖论的推导，第六章中对哥德尔不完全性定理的论述等等，要求读者具备稍多一些数理逻辑的知识，比如，了解一阶逻辑的基本概念，包括常用逻辑符号、公式的意义等，了解递归函数、图灵机等概念。对这些，本书同样只假设读者有一般性的了解，而不假设读者了解其中的数学化的严格的定义、证明等等。而且，本书将尽量使得读者可以跳过技术性的内容而不影响对有关哲学论述的理解。

然而，读者也应该意识到，本书是学术著作，不是科普读物。它追求简明、清晰与准确，但不刻意追求通俗性。对于数学或逻辑的专业知识的回避，都是以不损害清晰性与准确性为前提的。