5.3 关于债券收益率的进一步讨论

5.3.1 一年内多期付息和连续复利

债券的票面利率通常是按照年度给出的，但在实际支付利息时，有时会每半年甚至每季度支付一次，这会导致债券的实际收益率与每年付息一次时有所不同。因此，在计算投资者的实际收益率时，复利区间的确定非常重要。

例5-4 面值1000元、期限为3年、票面利息率为12%、一年支付一次利息的债券，其按照面值提供的年实际收益率就是12%。如果这个债券每半年支付一次利息，则半年的票面利率是6%（12%/2）。这样，年初1000元的债券6个月末可以得到60元的利息，这60元的利息再投入半年6%的债券，6个月后可以得到3.6元的回报。因此，年底的总的回报是123.6元（年中和年末的两个60元利息收入加上年中利息收入进行再投资的3.6元的利息收入），债券的有效收益率ie是12.36%。其具体计算为：

1+ie=（1+0.06）×（1+0.06）=（1+0.06）2=1.1236

ie=0.1236=12.36%

如果每季度支付一次利息，则利息率为3.0%，年度有效利息率为：

1+ie=（1+0.03）4=1.1255

ie=0.1255=12.55%

如果每月支付一次利息，则利息率为1.0%，年度有效利息率为：

1+ie=（1+0.01）12=1.1268

ie=0.1268=12.68%

一般地，如果票面年利息率为i的债券一年支付n次利息，每次支付的利息为i/n，有效年利息率为：

当n趋于无穷时，趋于ei，称为连续复利。

计算上述债券的连续复利：

ie为12.75%。

1+ie=ei=e0.12=1.1275

例5-5 一债券的面值为1000元，期限为3年，票面利息率为10%。如果投资者要求的回报率为12%，分别计算每年支付一次利息和每半年支付一次利息时债券的价值。

解 每年支付一次利息时，债券持有者每年可得到100元的利息收入，3年后得到1000元的本金，其价值为：

每半年支付一次利息时，每次支付50元利息，三年共支付6次利息。而一年12%的要求的回报率半年为6%，所以债券的价值为：

每半年支付一次利息时债券的价值公式为：

注意，在这个例子中投资者要求的回报率与债券的票面利率不同，在分子中计算每半年支付一次的利息额时要用票面利率，而分子中的折现率要按照投资者要求的回报率的一半计算。

5.3.2 债券的到期收益率与久期

到期收益率

我们曾经指出，（5-1）式中的折现率r是债券的到期收益率，即按照现值买入债券并持有至到期可获得的收益率。事实上，我们通常知道的是债券的价值（价格）、票面利率和到期期限，并不知道其到期收益率是多少。

例5-6 某债券的价格是1036.18元，距到期日还有4年，票面利率是6%，面值为1000元，它的到期收益率是多少呢？

根据（5-1）式，有：

这个等式里有一个未知数r，就是我们要求的到期收益率。显然，这个未知数是可以求出来的，但没有办法直接求出。目前，专门的金融计算器具有求解到期收益率的功能，读者可以按照计算器的操作说明求解。下面我们用逐步试错的方法求解。

由于债券的价格高于其面值，我们知道其到期收益率应该低于其票面利率，我们把4%带入上面的等式。结果为：

此时债券价值高于其实际价格。我们再把5%带入，计算出的债券价值恰好为1040.46元。这表明，该债券的到期收益率为5%。通常我们不一定正好能找到准确的到期收益率，而是会找到一个计算结果高于债券实际价值的收益率和一个计算结果低于债券实际价值的收益率，这时，可以通过内插的方法求出较为准确的到期收益率。比如，本例中我们知道6%的折现率会使债券的价值变为1000元，那么，内插的方法给出：

久期

久期（Duration）又称为债券的持续期，它的定义为：

式中：分子是以债券各期现金流量的现值与相应的期限t的乘积，也就是根据各次支付的时间加权的债券未来现金流量的现值。分母是债券未来收益的现值，即债券的价格P。

例5-7 一张期限为5年、面值为1000元、票面利率为8%、每年付息一次的债券，在到期收益率为10%时的久期为4.282年，具体计算过程如下：

久期的公式还可以写为：

（5-5）式表明，久期是债券各期现金流量发生的时间（第1期、第2期、……第n期）以债券各期现金流量的现值与债券的现值（价格）之比为权重相乘后的和。按照（5-5）式对久期的理解，例5-2中的债券的久期计算如表5-2所示：

债券支付利息的时间间隔越大，分子的数值越大，债券的久期越长。零息债券的久期就是其距离到期日的时间，比如，一张期限5年，到期收益率也是10%的零息债券的久期是：Dur==5年。而附息债券的久期总是小于其距离到期日的时间，因为有些利息在到期日之前就支付了。

久期是在现值的基础上衡量的债券的平均期限，久期越长，表明债券收回投资的平均期限越长。根据我们对债券利率风险的分析，债券的期限越长，其利率风险越大。由于久期同时考虑了利率变动对债券到期日的现金流量和各期利息支付的数值的影响，因此，具有同样久期的债券，尽管它们的到期期限和票面利率可以有所不同，但它们的价格对利率变化的反应却非常相似。所以，久期是一种对债券风险的测度。具体来说，债券价格变动的百分比与债券的久期之间大致存在着以下关系：

（5-6）式等价于下式：

式中：ΔP为债券价格的变化量；P为债券的初始价格；Δr为债券到期收益率的变化量；r为债券的到期收益率。

例5-8 如果例5-7中的债券的到期收益率由10%下降到9%，这一债券的价格将变化百分之多少？

解 债券的初始价格P为924.2元，初始到期收益率r为10%，到期收益率的变化Δr为-1%，债券的久期为4.28年。将上述数字带入（5-7）式，有：

即债券的价格将上升3.9%。

（5-7）式可以变化为：

式中：Durm=称为修正的久期或修正的平均期限，它反映的是债券的到期收益率变化1%时债券价格变化的百分比。

5.3.3 利率的期限结构

债券的期限不同，其利率通常也有所不同。一般来讲，短期债券的利率小于长期债券的利率，即一年期债券的利率小于两年期债券的利率，两年期债券的利率又小于三年期债券的利率，等等。比如，2005年下半年发行的一年期贴现式国债的利率是1.1429%，而平价发行的三年期国债的票面利率是1.93%，平价发行的五年期国债的票面利率是2.14%。在有些时候，长期债券的利率也会小于短期债券的利率。比如，由于石油危机带来的通货膨胀的影响，美国在1980年和1981年，长期债券的利率就小于短期债券的利率。长短期债券利率之间的这种关系，称为利率的期限结构。总起来看，利率的期限结构可以分为三种类型：水平、向上倾斜和向下倾斜。水平期限结构表明长短期债券的利率是相同的，向上倾斜的期限结构表明长期债券的利率高于短期债券的利率，向下倾斜的期限结构表明长期债券的利率小于短期债券的利率，图5-4a、b和c是这三种利率期限结构的示意图。图5-5是2005年前三个季度我国银行间市场国债利率的期限结构的示意图。

关于利率期限结构的形成有多种理论解释，典型的有无偏差预期理论、流动性偏好理论、市场分割理论、优先习惯理论等。限于篇幅和课程范围的原因，我们不在这里一一介绍，有兴趣的读者可以参阅专门的金融学和投资学教材。

利率的期限结构对企业债务融资和投资者进行债券投资都具有重要的作用。对筹资者来说，要根据对未来利率期限结构变化的预期，决定是借入短期债务还是长期债务。对投资者来说，则要根据对利率期限结构变化的预期决定是进行短期债券投资还是进行长期债券投资。

5.3.4 名义利率与实际利率

通货膨胀率是测定物价上涨的指标，当年通货膨胀率为5%时，意味着年末的105元钱才能购买到年初100元的商品。因此，在年通货膨胀率为5%的情况下，一个投资者年初投资100元，年末得到105元，这一收入的实际购买力只相当于年初的100元。对这个投资者来说，并没有因为其手中的货币数量增加了5元而能够比年初购买更多的商品。为了正确地衡量投资者的实际投资回报，我们把货币数量增加带来的回报称为名义利率（名义收益率），而把实际购买力增加，即扣除通货膨胀影响后的回报称为实际利率（实际收益率）。

如上所述，假设年通货膨胀率为5%，则年初100元的商品年末要105元才能买到。一张名义利率为8%、票面价值100元的一年期债券，年末的货币总值为108元，可以比年初的100元多购买2.86元（108/1.05-100）的商品。所以，这一债券的实际年利率是2.86%。通货膨胀率、实际利率和名义利率的关系可以用（5-9a）式表示：

式中：R为名义利率；r为实际利率；i为通货膨胀率。（5-9a）式也可写成下面的形式：

在通货膨胀率i、名义利率R和实际利率r都不太大的时候，三者的关系可以近似地写为：

在前面的示例中，R=8%, i=5%，利用（5-9a）式计算实际利率r为：

r=（1+0.08）/（1+0.05）-1=2.86%

用（5-9c）式快捷计算的实际利率r的近似值为3%，两者的差距为0.14%，数值并不大。

案例

04蒙电债的设计发行

从2003年第四季度开始，综合考察国内、国际的宏观经济形势，人们预期中国经济将进入一个持续的加息周期。在强烈升息预期的背景下，传统的企业债券发行受到极大的挑战：一方面，发行期限较短的债券（如期限小于5年），由于相关法律法规的限制，企业债券发行不能超过同期银行定期存款利率的40%，即使达到了相关规定的上限，也不能跟上市场利率上升的步伐；另一方面，如果发行长期债券（期限大于5年），发债方将承受较高的发债成本，一旦面临一个较长的利率下行周期，成本将显得非常高昂。

为了打开局面，券商在企业债券发行方面进行了许多创新。浮动利率债券、保底浮息债券（实质上是利率底floor）、发行人可赎回权债券、投资人可回售权债券相继出现。2004年出现的蒙电债就是可回售权债券的一个变种，即允许在未来数个时点行使回售的权利——百慕大式期权。

2004年年初，为了对未来投资项目进行融资，内蒙古蒙电华能热电公司准备发行18亿元的长期债务。但是，2004年1月、3月消费者物价指数的增长率都超过3%，加之央行分别于3月25日和4月12日宣布实行差别存款准备金率及上调法定准备金率0.5%，投资者纷纷对加息表示担忧，并且市场预期消费者物价指数会再度走高。这一期间，债券市场的利率水平不断上升，债券价格则不断下跌。2004年7、8、9月三个月的消费者物价指数均在高位运行，并且央行在10月29日升息0.27%，市场利率稳定在了一个较高的位置，按当时的市场利率发行长期债券的成本超出公司意愿的融资成本。

为了确保发行成功，同时降低融资成本，公司委托中信证券有限公司设计并承销企业债券。

由于公司发行债券的时间较长，预期未来债券的利率可能走低。中信证券的债券发行部门将债券设定为钉住1年期银行定期存款利率的浮动利率债券。为了满足企业债券发行不能超过同期银行定期存款利率的40%的限制，每期支付的利息只能设定为比同期银行存款高出2.55%。

虽然公司已经将利率水平设定到了相关法律法规允许的上限，但是这一利率水平的设定仍然低于市场给出的10年期企业债券的利率水平。按这样的水平发行债券很难得到市场的认同。如何让市场接受成了摆在债券设计者面前的一道难题。

既然法律的规定是不可更改的，债券设计人就想到了用卖权缩短债券存续期限的办法。如果给投资人在债券未到期的时间内卖回给发行人的权利，那么投资人实际上就是购买了一个短期债券，但是可以获得长期债券的利息收益。但将债券卖回给蒙电华能热电公司是公司不可接受的，这会使公司的长期筹资计划在中途被打断，公司可能被迫在短期内就要偿还债券的本金和利息，借来的资金也就不可能真正用于长期投资。

投资者愿意接受附有卖权的债券，而债券的发行人却不愿意承担将债券买回的风险，解决这个矛盾只有一个办法，找到另外一家愿意承担债券买回的风险的机构。作为04蒙电债的主承销商，中信证券公司勇敢地承担了这个任务。最终04蒙电债的条款中规定了投资人定向转让选择权，即投资人有权选择在债券的第二个计息年度的投资人定向转让登记期内进行登记，将持有的债券在投资人定向转让期内，全部或部分转让给主承销商，转让价格为本期债券面值加应计利息。当然投资人也可以选择不转让而继续持有债券。

对于债券的发行人而言，让中信证券公司承担全部买回债券的风险也并不是一个最经济的办法，中信证券公司必然要为它所提供的服务收取相应的报酬。为了降低债券的发行成本，蒙电华能热电公司决定也承担部分买回风险，但这种买回必须是在足够长的时间之后，以保证公司可以有充足的时间回收部分投资。这样债券的设计者就在债券条款中又加入了投资人回售选择权，即投资人有权选择在债券的第5个计息年度的投资人回售登记期内进行登记，将持有的债券按面值全部或部分回售给发行人。

通过这样的设计，在投资者的眼中，04蒙电债这样一个10年期的长期债券就转变成了几个债券的组合：一个2年期浮动利率债券，利息是银行存款利息加上2.55%；一个两年后发行的3年期浮动利率债券的买权，这个3年期浮动利率债券的利息也是银行存款利息加上2.55%；最后是五年后发行的一个5年期浮动利率债券的买权，这个5年期浮动利率债券的利息也是银行存款利息加上2.55%。

如果投资者购买04蒙电债，他可以把这项投资看做是购买了一个2年期的短期债券和两个买权的组合。虽然银行存款利率加上2.55%这样一个水平对于10年期债券来说有点偏低，但是对于2年期债券而言却是足够高了。债券的设计者通过这样的设计成功地突破了法律法规的限制，保证了04蒙电债的顺利发行。

2004年12月20日，04蒙电债正式开始发行，所有18亿债券迅速得到认购，场外交易价格很快就超过债券面值。之后随着市场利率的降低，04蒙电债很快成为投资机构惜售的品种，这个实质上为2年期的债券的收益比一般的10年期债券收益还要略高，参与购买04蒙电债的投资者都获得了丰厚的投资收益。

本章小结

本章讲述了债券、债券的收益率和利率等问题。主要内容有：（1）债券的基本概念与相关参数。（2）债券的价值由面值、票面利息率、到期期限和同类债券的市场利率（到期收益率）等因素决定，前三个因素决定了债券产生的未来现金流量，是决定债券未来收益的最基本因素；最后一个因素由投资者的风险偏好决定，决定债券未来收益的现值。（3）债券的价格与利率呈反方向变化，这种变化就是债券的利率风险，会导致债券投资者的收益或损失。在其他因素相同的情况下，票面利率高的债券利率风险较低，距到期期限短的债券的利率风险较低。（4）债券的到期收益率和久期。到期收益率是购入债券后将债券持有到期所得到的收益率，在计算债券价格时所用的折现率就是到期收益率；久期是在债券现值的基础上衡量的债券的平均期限，久期越长，表明债券收回投资的平均期限越长。（5）债券实际利息支付频率对债券价格的影响，债券的实际利息支付频率越高，债券的价格越高。通货膨胀率与债券的名义利率和实际利率之间的关系，在各种利率均不太高的情况下，债券的名义利率近似等于通货膨胀率与实际利率之和。

思考题

1．债券的价值由什么决定？为什么？

2．债券的票面利率与到期收益率的区别是什么？

3．为什么债券可以溢价和折价发行？

4．什么是债券的利率风险？

5．什么是债券的久期？它有什么意义和作用？

6．什么是利率的期限结构？它反映了什么样的经济本质？

计算题

1．当市场利率为12%时，面值为1000元、票面利息率为8%、每年年末付息一次、期限12年的债券的价格应是多少？

2．某电子公司发行一期限为8年、面值1000元、票面利息率9%、每半年付息一次的企业债券。如果你对此债券所要求的投资收益率为8%，你认为债券的发行价格应为多少？

3．某投资者愿意以900元的价格买入一期限10年、面值1000元、票面利息率8%、每半年付息一次的企业债券，请问该投资者要求的投资收益率是多少？

4．A、B、C三个债券各面值为1000元，期限均为5年，但还本付息方式不同，A债券为每年等额还本付息；B债券每年付息，期末一次性还本；C债券则在期末一次性还本付息。三个债券都保证按面值提供12%/年的收益率（复利），它们还本付息的现金流量如下表所示：

求：（1）当市场利率为12%时，三个债券的久期；

（2）当市场利率为20%时，三个债券的久期。

5．某公司同时发行两种债券，两种债券面值都是1000元，每年付息一次，每次付息100元。债券A还有10年到期，而债券B还有1年到期。如果市场利率是6%、7%、8%，两只债券的价格分别是多少？为什么市场利率变化时长期债券比短期债券价格变化更大？

6．某公司的发行面值为1000元的4年期债券，债券每年付息一次，票面利息率为9%。当债券的价格分别为830元和1100元时，债券的到期收益率是多少？如果市场上同类债券的收益率是12%，你是否愿意为这只债券支付830元？

7．某公司为了长期筹资发行10年期面值为1000元的债券，票面利率定为10%，每半年付息一次。

（1）若两年之后市场利率下降到8%，公司的债券价值应当是多少？

（2）若两年之后市场利率上升到12%，公司债券的价值又应当是多少？

（3）如果市场利率在两年之后下降到8%，此后一直保持8%不变，那么从第二年到债券到期，债券的价格将怎样变化？

8．某公司1994年1月发行票面利率为5%、按年计息的30年期债券。到2007年1月，市场利率上升，债券的价格从1000元下降到650元。

（1）若债券最初按照1000元面值出售，债券发行时的到期收益率是多少？

（2）2007年1月债券的到期收益率是多少？

（3）2007年1月时债券是折价出售的，随着债券逐步接近到期日，债券的价格会如何变化？投资者是否会逐步获得资本利得？

9．某债券投资者购买了10年期年息10%的债券、5年期零息债券、10年期零息债券和年息10%的无限期债券各1份，债券面值均为1000元。购买债券时的市场利率是8%。如果第二天市场利率上升到9%，每只债券的价格变化幅度有多大？

10．某投资者购买了期限为3年的两种债券，面值均为1000元，到期收益率均为9%。债券A每年付息一次，票面利率为10%；债券B为零息债券，到期支付1000元。如果市场利率保持9%不变，分别求债券A、B在第0、1、2、3年末的价格。