第4章
量子力学的创立

4.1　海森伯的矩阵力学

沃尔纳·海森伯（图4.1），1901年12月5日出生在德国巴伐利亚州的维尔兹堡，父亲是一位研究希腊和拜占庭相关文献的著名教授。在海森伯9岁的时候，全家搬到了慕尼黑居住。小学时，海森伯跟著名钢琴家多芬格学习钢琴，所以海森伯弹得一手好钢琴。1914年，海森伯进入慕尼黑马克西米兰中学读书。这是一所师资非常雄厚的中学，绝大部分的教师都具有博士学位，而且对学术研究有浓厚的兴趣。特别是，伟大的物理学家普朗克不仅从这个学校毕业，还在这里教过物理。很快，海森伯便在数学和物理方面表现出让人吃惊的天赋，这一天赋的开启还应该归功于他的数学和物理老师沃尔夫。沃尔夫让海森伯在三年级起就开始自学代数、三角、平面几何和立体几何。此外，海森伯还自学了爱因斯坦的相对论，并阅读了外尔的书籍《空间—时间—物质》。1916年时，海森伯还被数论所吸引，一度沉迷其中。在海森伯读中学期间，第一次世界大战爆发，最终德国战败。这场战争对海森伯产生了深远的影响，使他一度感到前途渺茫。

图4.1　海森伯

中学毕业后，海森伯的父亲建议他学习古语言学，但是海森伯在数学和音乐方面独具天赋，虽然他也对宗教和文学表现出很大的兴趣。年轻的海森伯喜欢四处周游，参加各式各样的组织。在进入慕尼黑大学之后，他面临的一个严肃的问题就是为自己的将来选择一条好的发展道路。经过反复的考虑，海森伯决定选择攻读纯数学。但是因为和数学教授林德曼的不愉快会面，最终使海森伯选择了物理学家索末菲作为导师。事后证明，这是一个非常幸运的选择，海森伯自此踏出了通向物理学顶峰的重要一步。索末菲是一位既严格又细致的导师，经过索末菲的培养或与他相关的诺贝尔奖获得者达十人之多。大学期间，索末菲给海森伯留的作业也特别复杂，甚至连助教都因为改海森伯的作业特别耗时而抱怨。海森伯还非常幸运地得到了师兄泡利的帮助，此外还受邀访问哥本哈根玻尔研究所，得到了玻尔宝贵的教诲。此外，玻恩对他的帮助和教导也是非常宝贵的。

1924年7月，玻尔写信给海森伯，告知他洛克菲勒财团资助的国际教育基金会同意资助他前往哥本哈根与玻尔本人共同工作一年，此时的海森伯已经获得博士学位正在哥廷根的玻恩手下工作。玻恩当时正好要去美国讲学，于是答应海森伯只要第二年的5月夏季学期开始前回到哥廷根就行了。1924年9月，海森伯抵达哥本哈根。毫无疑问，在哥本哈根玻尔研究所工作的每个人都是天才，而玻尔更是一位和蔼可亲的伟大人物。玻尔对每个人都报以善意的微笑，并总是引导大家畅所欲言。后来，海森伯成为玻尔最亲密的学生和朋友之一。玻尔经常邀请海森伯到他家里做客，或者到研究所后面的树林里散步并讨论学术问题。现在看来，海森伯的这次对哥本哈根的访问对于量子力学的创立有着非常积极的意义。1925年4月，海森伯回到哥廷根。

1924—1925年之交，物理学开始处于一个非常艰难和迷茫的境地，因为玻尔的原子结构模型已经出现了一些裂痕，辐射问题的本质究竟是波还是粒子也搞不清楚。当海森伯访问哥本哈根时，有一种思潮对海森伯产生了很大的且重要的影响。这种思潮认为，物理学的研究对象应该只是那些能够被观察到的量，物理学只能从这些东西出发，而不是建立在观察不到或纯粹是推论的事物上。最明显的例子就是玻尔的电子“轨道”以及电子绕着轨道运转的“频率”。海森伯认为，这种“轨道”和“频率”都是不可观察的量。1925年4月，当海森伯结束访问哥本哈根回到哥廷根时，就开始重新审视氢原子的问题。1925年夏天，海森伯感染了一场热病，不得不离开哥廷根到一处小岛上休养。在这个远离喧嚣的小岛上，海森伯试了一些方法，但是导致的数学困难都是几乎不可克服的。最后，在暂时不考虑谱线强度的情况下，海森伯终于建立了原子中电子的基本运动模型。就这样，新的量子力学终于被建立起来了，这就是最初的量子力学的矩阵力学形式。在这个最初的矩阵力学形式中，海森伯要求所有的物理量都是矩阵，包括位形、动量和哈密顿量等。此外，海森伯保留了各力学量的函数关系，以及用泊松括号表达的经典力学运动方程的哈密顿形式：

海森伯将经典力学如此改造之后就得到了一种新的力学，即所谓的矩阵力学。这个理论里面的一个最大特点就是矩阵的数学运算法则与一般的数或函数不同，两个矩阵的乘法一般情况下并不总是服从乘法的交换律。因此，必须提出代替乘法交换律的新的运算法则，这样才能有一个完整的矩阵力学。体现这个新运算法则的关系式称为对易关系（即量子化条件）：

如果u和v是一对正则共轭量的话。

海森伯理论可以自然而然地推导出量子化的原子能级和辐射频率。这一切都可以顺理成章地从方程本身解出来，而不必像玻尔的旧原子模型那样，强行地附加一个不自然的量子条件。尽管海森伯的量子力学矩阵力学形式后来在多数时候被薛定谔的波动力学形式所取代，但是海森伯的矩阵力学仍然值得大书一笔，因为它是出现最早的量子力学理论。从1925年的矩阵力学开始，人类终于有了一套逻辑上完备的量子力学。海森伯把他关于量子力学的论文交给玻恩看，玻恩把论文寄给了《物理学杂志》。论文于1925年7月29日发表，这就是新生的量子力学的首次亮相。很快，玻恩和约尔当合作，将矩阵力学理论比较完整地建立了起来。前面我们提到，1900年12月14日这一天被普遍公认为量子论（或“量子”）的诞生日，但是量子力学的诞生日就没有那么明确，我们只知道海森伯关于量子力学的论文最初发表在1925年7月29日的《物理学杂志》上。

值得一提的是第二次世界大战期间的海森伯，当时海森伯是希特勒的原子弹计划的总负责人。德国当时仍然拥有一批世界上最好的科学家，原子核裂变就是由两个德国人哈恩和斯特拉斯曼发现的，而这两个人都还在德国。那么，为什么德国最终没有能够制造出原子弹呢？这里面的原因可能非常复杂，而且有多种说法。我们在这里简单地给出一种说法（或说辞）：据海森伯说，德国科学家意识到像原子弹这样的大规模杀伤性武器所可能引发的道德问题，也意识到科学家对人类所负有的责任。所以他们心怀矛盾、消极怠工，并有意无意地夸大了制造原子弹的难度。由此，在1942年终于使得纳粹高层相信原子弹并没有什么实际意义。当然，海森伯的这一说法，也许只是一种捍卫德国科学家道德地位的说法吧。

有一个插曲：1941年10月，海森伯不期而至地来到哥本哈根造访玻尔。考虑到他们过去长时间的情谊，玻尔接见了他。这之前，玻尔已经知道海森伯正在为纳粹德国研制原子弹。在这次会见中，海森伯试探性地问了一些问题，而玻尔则假装没有听懂。战争使这对过去情同父子的师徒相互猜疑，不能不令人叹息。