4.3 特殊矩阵

本节主要介绍几种具有特殊性质的矩阵。

4.3.1 方阵

具有相同行数和列数的矩阵就是方阵（square matrix）。方阵是一张正方形的数表。n ×n维方阵称为n阶方阵。比如，

就是一个3 ×3维方阵，或称3阶方阵。

4.3.2 对称矩阵

对称矩阵（symmetric matrix）满足：对于所有i, j，矩阵的第i行第j列元素与矩阵的第j行第i列元素相等。由此不难看出，对称矩阵必须是方阵，而且对称矩阵的转置与原矩阵相等。

4.3.3 对角矩阵

对角矩阵（diagonal matrix）是指除主对角线元素之外，其他元素均为0的方阵。其中，主对角线元素是指矩阵中那些行数等于列数的元素。设维数为5 ×5的矩阵D为对角矩阵，则D为

也可以将其简记为：D=diag{d1, d2, d3, d4, d5}。

此外，根据矩阵乘法法则，不难发现对角矩阵的乘法具有特殊的性质。设有维数为n ×m的矩阵X：

则：

即把矩阵X的第1行都乘d1，第2行都乘d2，依此类推，直到第n行都乘dn，则为相乘得到的矩阵。

同理，如果矩阵X右乘一个对角矩阵C（注意，由于此时X是n ×m维，所以右乘的对角矩阵C应该是m ×m维，不妨设），则有：

即把矩阵X的第1列都乘c1，第2列都乘c2，依此类推，直到第m列都乘cm，则为相乘得到的矩阵。

4.3.4 数量矩阵

主对角线上的元素都相等的对角矩阵被定义为数量矩阵（scalar matrix），比如对角矩阵，其中c为实数。

4.3.5 单位矩阵

对角线元素都为1的对角矩阵被定义为单位矩阵（identity matrix）。不难看出，单位矩阵是一种特殊的对角矩阵。一般用字母I来表示单位矩阵。根据前面提到的对角矩阵左乘和右乘的性质，不难得知，对任何矩阵Xn×m，都有In×n× Xn×m=Xn×m× Im×m=Xn×m。也就是说，只要原矩阵与单位矩阵可以进行矩阵乘法运算，无论进行左乘或右乘，所得矩阵仍为原矩阵。

4.3.6 零矩阵与零向量

所有元素都为0的矩阵是零矩阵。向量作为一种特殊矩阵，当其所有元素都为0时，该向量就是零向量。不难证明，在可以进行矩阵乘法运算时，零矩阵或零向量与任何矩阵相乘的结果都是零矩阵。

4.3.7 幂等矩阵

如果n阶方阵A满足A2=A，则称矩阵A为幂等矩阵（idempotent matrix）。

4.3.8 元素全部为1的矩阵与向量

有一个各元素均为1的n行列向量，

另有一个各元素均为1的n ×n矩阵，

很明显，

1′1=n

同时