3.6 对特定X下Y单一值的预测

在3.5节中，我们根据样本中的X，对回归直线上相应的Y值进行估计，得到的估计结果实际上是Y的条件均值或条件期望。如果我们希望基于一个新的X值预测对应的Y的值，不难想象在这种情况下Y的取值将会有更大的置信区间。由于随机项ε的存在，特定xi（仍记为x∗）下的y∗不落在回归直线 b1x∗上，而是服从于以回归直线为均值、以为方差的分布。估计量和相应的估计标准误见表3-3。

根据表3-3，在95%的置信水平下，预测某x∗下y∗的置信区间为：

同样地，由于总体误差的标准差σε是未知的，用误差标准差的样本估计Se作为σε的估计，则可以得到在95%置信水平下，对特定X下Y单一值的区间估计为：

[例题3-1] 假设我们试图对某一社区中个人的受教育程度（X=edu）对年平均收入（Y=earn）的影响进行研究。我们从该社区中随机地收集到11名个体的受教育年限（单位：年）和年平均收入（单位：千元）数据（见表3-4）。

利用该数据：

（1）判断最佳拟合直线方程；

（2）计算直线的拟合优度；

（3）检验数据是否支持年平均收入受到个人受教育程度的影响（显著度α=0.05）这一假设；

（4）在95%置信水平下，估计受教育年限为12年者的年平均收入；

（5）预测当edu=20时，某个人的年平均收入。

（1）通过上表计算出：

因此，回归直线为：

（2）拟合优度的判定系数R2的计算。可以先计算受教育年限与年平均收入之间的相关系数，然后利用简单回归情况下这一关系式得到相关系数：

所以，上述回归直线拟合优度的判定系数R2=0.51。也就是说，回归方程能够解释年平均收入总方差中的51%。

（3）检验受教育年限对年平均收入的影响是否显著，实际上就是检验β1是否等于零。

零假设H0: β1=0

备择假设H1: β1≠0

计算检验统计量：

由于

则，所以。

因为在α=0.05处，t0.025（9）=2.26＜3.10，所以，拒绝零假设β1=0。这表明受教育年限对年平均收入有显著影响。

（4）当edu=12时，估计的期望年平均收入为：

并且估计标准误，另根据第（3）问求解中的计算结果S=2.03，所以，S. E. =0.687。由公式（3-23）可知，t0.025（9）=2.26，则受过12年教育的个体年平均收入（earn）的95%置信区间为：

（9.28 -2.26 × 0.687,9.28 +2.26 × 0.687）=（7.73,10.83）

（5）由于edu=20已经超出样本中自变量的取值范围 [5,16]，因此利用回归拟合直线预测edu=20时个体年平均收入的取值是很危险的。

当预测值的范围超出了样本中 x 的取值范围时，利用回归直线预测要千万小心。这时，不仅因为预测值的置信区间变得过大而不可靠，更重要的是，自变量与因变量之间的关系可能在超出样本取值范围的某个 x处突然转变， （如图3-7所示）。但是，我们无法从已有的样本数据中得知这种趋势是否存在。

在图3-7的例子中我们可以看到，超出数据范围 edu =16以后，受教育年限与年平均收入之间可能呈曲线关系，而不再是简单的线性关系。如果这时仍然按照原有的拟合直线对 edu =20进行估计，就会使预测结果出现很大的偏误。