3 定序数据的独立性检验

χ2和G2的独立性卡方检验要求数据是定类的，如果行或列变量是定序的时，则需要选择适合其层次的检验统计量。

3.1 线性趋势

当行变量Χ和列变量Y是定序的时，“趋势”关联是最常见的。趋势关联的含义是：当Χ的层次提高时，Y的值会在高层次上增加或者随着层次的降低减少。我们可以用单一参数来描述这种定序的趋势关联。最常用的方法是赋予变量各层次数值，然后量度线性趋势或相关的程度。

下面介绍应用皮尔森积矩相关系数，测量Χ和Y之间关系的正或负的线性趋势。令u1≤u2≤…≤uI表示各行的赋值，v1≤v2≤…≤vJ表示各列的赋值。赋值是单调的，即赋值与层次是一致的。赋值反映层次间的距离，距离越大，层次间的间隔越大。如果间距相等，则不同赋值组的效应是相同的。例如，赋值(1，2，3，4，5)和(1，3，5，7，9)的间距都是相等的，所以效应是相同的。

∑i，juivjnij表示Χ和Y的协变量，uivjnij的含义是赋值叉积uivj乘以权重nij（单元格频次）。在赋值确定时，Χ和Y的皮尔森积矩相关系数等于：

r的值域在-1和1之间，当真值为0时，两个变量相互独立。随着r的绝对值增大，两个变量之间的线性相关增强。

检验变量相关的统计量为：

当M2为0时，支持H0（变量独立）；反之，备择假设（变量相关）成立。公式1-3表明，当样本的皮尔森积矩相关系数r或样本量n增大时，统计量M2会增大。对于大样本，M2的分布近似于df=1的卡方分布。M2 大于0时，否定H0，所以与χ2和G2 一样，它的p值是观测值的右尾概率。平方根具有标准正态零假设分布，并且可以表示层次之间相关的方向。

M2检验的变量是对称的，将I×J列联表的行和列及其赋值对调，新的J×I列联表的M2值不变。

3.2 定序检验统计量的优势

上文在谈到χ2和G2的自由度时，笔者曾指出df=（I-1）（J-1）是由（IJ-1）-［（I-1）+（J-1）］得来的。其中，（IJ-1）是备择假设参数的数目，［（I-1）+（J-1）］是H0参数的数目。因此，df的值（I-1）（J-1）就是备择假设比H0多的参数数目。检测统计量例如χ2和G2的设计都是为了找出这些多出的参数的效应。但是，这种设计使得检验统计量失去了检测个别参数效应的灵敏度。

当行和列的变量是定序的时，我们可以用一个参数来描述变量之间的相关。例如，统计量M2就只有一个参数r——线性趋势的相关量度。统计量只需一个参数就意味着它的df等于1。

如果变量之间确实具有正的或负的关联趋势，应用M2的检验就比基于χ2和G2的检验具有更大的优势。原因是，卡方分布的均值是1，χ2和G2的df=（I-1）（J-1）。因为（I-1）（J-1）≥1，所以除了2×2列联表，M2的卡方分布均值总是小于χ2和G2的卡方分布均值。因此，当M2与χ2和G2的值相当时，M2的p值更小。这意味着，当变量确实是线性相关的时，与χ2和G2相比，M2更有可能否定变量独立的H0，即M2的灵敏度较高。

df较小的卡方检验的另一优势与近似卡方分布的程度有关。对于小或中等的样本量来说，df越小，抽样分布越接近卡方分布。当一些单元格频次很小时，与χ2和G2相比，M2的近似卡方分布的程度要好得多。

本书为了说明定序变量的对数线性回归和对数概率比回归的特点，将介绍定序变量的模型和定序-定类变量混合的模型。为了比较各种模型拟合优劣的情况，就需要应用统一的检验量度。因此，只用于定序数据的M2不合适。虽然G2不如M2精确，但是可以用于定序和定类数据，符合本书的要求。所以本书的其他部分都用G2作为检验统计量。

3.3 赋值

对于大多数定序数据，只要层次的赋值是单调的，不管它们的形式如何，都不会影响估计值。例如，赋值的组合不同，但每一赋值组的间距一样，则r和M2的值不变。例如，当赋值组为（0，1，2，3）、（2，4，6，8）或（10，20，30，40）时，其r和M2的值与（1，2，3，4）的r和M2值一样。

但是，如果数据非常不平衡，即某些单元格的观测频次特大，层次的赋值就会影响估计值。以表1-4为例，我们给行的间距取相等的赋值（1，2，3，4），检验统计量就变成M2=1.83，p=0.18，否定H0的力量变得更弱了。既然在某些情况下定序数据的赋值方法不妥，那么我们可以根据数据的排列位置，用它们的秩作为类别赋值。下面以表1-4为例，介绍赋予数据中位秩的方法。第一个家庭收入层次“下下”的边际频次为1106，中位秩（与中位数的计算方法一样）等于（1106+1）/2=553.5。第二个家庭收入层次“中下”的中位秩为1106+（1863+1）/2=2038，其他两行的中位秩照此计算。但M2对列联表的频次分布是有要求的，如果相邻的层次只有很少的观测值，则它们的中位秩必定近似。其结果是，各层次的中位秩距离可能相差悬殊，有的距离很小，有的距离很大，造成不合理的差距，M2也是不准确的。

以上两种定序数据的层次赋值方法，在个案频次分布倾斜时，结果不理想。读者在选择使用哪种方法时，要考虑赋值是否能正确反映层次的间距，可以选择间距不等的赋值。在不能确定时，要选择两种或三种方法，检验计算结果是否近似。一般来说，当层次不需要加以特殊考虑时，例如，按照家庭收入，可以分为下下、中下、中上、上上四个层次，给予它们等距赋值是可行的。

当变量Χ和Y都是定序的时，中位秩作为它们的赋值，M2可以灵敏地测出非参数相关的非零值。这种方法就是斯皮尔曼rho。

3.4 I×2和2×J列联表的趋势检验

当变量Χ只有两个层次，Y的层次大于2，或者Y只有两个层次，X的层次大于2，且行变量Χ是解释变量，列变量Y是应变量时，计算M2要有不同考虑。

2×J列联表表示解释变量Χ是二点变量，我们用赋值u1=0，u2=1表示Χ的两个层次。这样，M2的基础——协变量∑i，juivjnij就简化为∑jvjn2j，这一算术式表示，第二行所有个案在Y上的赋值之和除以第二行的单元格数就得到该行的平均赋值。实际上，当变量Y是定序的、层次赋值为｛vj｝时，2×J列联表的M2就可以用来检测两行个案在Y上得分的均值之差。用M2检验独立性，小的p值支持行均值之差存在。

如果应变量Y的层次赋值取中位秩，2×J列联表的检验对于两行的均值之差很灵敏。这种检验就是威尔柯克森或曼-威特尼检验。大样本的非参数检验使用标准正态z统计量。在行取（0，1）赋值、列取中位秩时，z2等同于M2。

I×2列联表表示应变量Y是二点变量，Χ是定序变量。Y的每一层次的概率在Χ各层次上的变化是研究的重点。Χ各行的赋值必须是单调的，Y的两个层次可取任意值，这时的M2主要用来检验概率的线性趋势。如果是检验独立性，小的p值支持线性趋势的斜率是非零的。I×2列联表的定序检验又被称为科克伦-阿米蒂奇趋势检验。

除了M2之外，其他I×J列联表的定序检验还有γ和τb量度法，统称为肯德尔τ。这些量度具有检验独立性的大样本标准正态分布，其检验统计量的平方是df=1的卡方。像M2一样，这些检验统计量由于只有一个参数而具有潜在优势。