12.8 张量：抽象指标记法和图示记法

数学家和物理学家们经常在记法上发生冲突。我们可以用这两种记法来写方程β·ξ=βrξr的两边作为例子。数学家的记法显然与坐标无关，表达式β·ξ（数学文献里更常见的是（β·ξ）或＜β，ξ＞这种记法）无须参照任何坐标系，标积运算完全是定义在几何/代数术语上的。另一方面，物理学家的表达式βrξr反映的是某种坐标系下的分量。当我们从一个坐标拼块移向另一个坐标拼块时，分量形式将发生变化。进一步来说，这种记号依赖于“不良的”求和约定（这与标准的数学用法多有冲突）。但是，物理学家的记法自有其灵活方便的地方，特别是在那些数学家尚未涉足的地方用以构造一种新运算时更是如此。对于某些繁复的计算（像与上面最后一对表达式有关的那些式子），如果我们不借助指标表示，经常是简直就无法进行下去。纯数学家们经常会发现，他们不得不（为难地）诉诸“坐标拼块”的计算——当论证中有时需要用到一些基本计算量的时候——因为他们很少用到求和约定。

在我看来，这种冲突多半是人为的，只要我们改变立场就很容易解决它。当物理学家运用量“ξa”时，她或他心里通常想的是那种我一直记为ξ的实际的矢量，而不是这个矢量在某种坐标系下的分量。对“αa”我们同样可作此理解，它代表的是一个实际的1形式。实际上，这种思想完全可以通过所谓抽象指标记法[16]这一框架来严格地体现。在这个框架下，指标不代表某种坐标系下的1，2，…，n之一，它只是代数表述中的一种抽象符号。这种记法在避开由具体坐标系带来的概念上缺陷（如是否简明等）的同时，保留了指标记号的实际优越性。此外，业已证明，抽象指标记法还有许多其他的实际好处，尤其是关系到有关旋量的表述方面。[17]

但抽象指标记法仍存在视觉上难以辨认的问题，它无法通过一个公式揭示出所有重要细节，因为指标符号本来就小，再加上精心排布，人们辨认起来非常吃力。这些困难可通过引入另一种张量代数记法来缓解。这就是我下面要讲的图示记法。

首先，我们应当清楚张量实际上是什么。在指标记法里，张量记为

这样一个量。它有p个上标和q个下标（p，q≥0），且不必是专门对称的。我们称这种表达式为[18]价的张量（或价张量，张量）。从代数上说，它表示这样一个量Q，它可视为是q个矢量A，…，C和p个余矢量F，…，H的（某种特殊的所谓多重线性[19]）函数

在图示记法下，张量Q则表示为一种清楚的符号（如矩形，三角形，椭圆形，依方便而定），该符号拖着q条向下的线段（“腿”），举着p条向上的线段（“臂”）。在任一张量表达式里，不同元素相乘可表示为某种符号的并置，它不必是线性有序的。任意两指标的缩并必然表现为上下线段的自上而下的连接。其他各种例子见图12.17和图12.18，其中包括了我们遇到的各种公式的表达。作为一种记号，我们用横在各指标线段上的横杠来表示反对称化，它相当于指标记法里的方括号（虽然业已证明对涉及阶乘因子我们可方便地采用不同的约定）。“波浪”线对应于对称化。虽然图示记法通常较难印刷，但它为许多手工计算带来莫大方便，我自己已经用了50年！[20]