12.6 外导数

定义上述重要概念的一种“非坐标”途径，就是公理化地建立外导数概念：对每个p=0，1，…，n－1，用独特的算子“d”作用到p形式，产生（p+1）形式。这种作用有如下性质：

d（α+β）=dα+dβ，

d（α∧γ）=dα∧γ+（－1）pα∧dγ，

d（dα）=0，

这里α代表p形式，对0形式（即标量），dΦ（“Φ的梯度”）的意义与早先讨论的相同。（从dΦ·ξ=ξ（Φ）定义式知，这里的“d”与dx里的“d”是完全相同的算子。）上面罗列的最后一个方程式经常写成

d2=0，

这是外导数算子d的一个关键性质。（我们会注意到，上面第二个方程里之“所以”出现看起来别扭的项（－1）p，是因为其后的“d”实在是“站错了位置”，得“穿过”α，这里p是反对称指标。在下面的指标记法下这一点会变得更清楚。）**〔12.11〕

按上述性质，作为梯度α=dΦ的1形式α必然满足dα=0。*〔12.12〕但不是所有1形式都满足这一关系。事实上，若1形式α满足dα=0，则局部（即包含任一给定点的足够小开集）上，存在某个Φ使α=dΦ。这是重要的庞加莱引理[11]的一种情形，***〔12.13〕这条引理认为，如果p形式β满足dβ=0，则对于（p－1）形式γ，局部上β有形式β=dγ。

运用分量概念，我们很容易弄清什么是外导数。考虑p形式α。在坐标为（x1，x2，…，xn）的坐标拼块下，α表示为反对称分量αr…t（=α［r…t］，这里r…t是p个数，见§11.6）的集合，记为

α=∑αr…tdxr∧…∧dxt，

这里求和（由符号∑表示）取遍r…t的每一个指标，每个指标均从1取到n。（有些读者不喜欢这种重复表达式，因为楔积的反对称性使得每个非零项被重复计算了p次。但考虑到这么使用可使记法变得更清楚，因此我还是喜欢用这个表达法。）p形式α的外导数是（p+1）形式，记为dα，它有分量

（这个记法看上去有些复杂，反对称化——这个表达式的关键——延伸到所有p+1指标，包括导数符号后变量x的指标）。**〔12.14〕，***〔12.15〕

现在我们给出外演算基本定理。对于p形式φ，表达式如下（图12.11）：

∫Rdφ=∫∂Rφ。

这里R是某个（p+1）维（定向）紧致区域，其（定向）p维边界（当然也是紧的）记为∂R。

这里有好些词我还没来得及解释。就当前意义来说，直观上，“紧的”是指区域R不“趋于无穷大”，它没有“割去的洞”，也没有“边界被移走”。更准确地说，紧致区域R是指这样一种区域，[12]其中R内的任一无穷点列必聚合到R内一点（图12.12（a））。这里，聚点y有如下性质：R内包含y的任一开集（见§7.4）必包含许多无穷点列（故点列里的点将无限地靠近y）。无穷维欧几里得平面是非紧的，但球面则是紧的，环面也是紧的。处于复平面单位圆（闭单位圆盘）内或圆上的点集也是紧的，但如果我们从这个集上割去圆本身，甚至仅割去圆心一点，则剩下的集合就不再是紧的了，见图12.13。

“定向的”指的是R的每一点上有一致的手征（图12.14）。对零维流形或离散点集，定向就是将“正”（+）或“负”（－）简单赋给每个点（图12.14（a））；对一维流形或曲线，定向就是指定曲线的正方向，这个方向可用曲线上的箭头来表示（图12.14（b））；对于二维流形，定向可由带箭头的小圆圈或一段圆弧来表示（图12.14（c）），它代表曲面上该点的切向量转动时的正方向；对于三维流形，定向由某点上三个独立矢量轴来代表，三轴间关系要么按“右手系”，要么按“左手系”（见§11.3和图11.1），见图13.14（d）。只有那种非常罕见的空间我们才无法确定其方向。默比乌斯带（图12.15）就是其中的一个（非定向的）例子。

（定向紧致的）（p+1）维区域R的边界∂R，由R的那些不处于R的内部的点组成。如果R是适当非病态的，则∂R是（定向紧致的）p维区域，虽然它可能为空。∂R的边界∂∂R为空，故∂2=0，这个关系补足了早先的d2=0。

复平面上闭合单位圆盘的边界是个单位圆；单位球面的边界为空；有限长直圆柱（二维圆柱面）的边界由两端的两个圆组成，但二者的取向相反；有限长线段的边界由两端点组成，一个取+，另一个取－，见图12.16。[13]前述的原始一维微积分基本定理只是外演算基本定理在R取某一线段时的一个特例。