12.2 流形与坐标拼块

现在我们来考虑如何从数学上处理n维流形结构。n维流形M的构造可完全按类似于第8章和第10章（见§10.2）的方法来处理，我们先用一系列坐标拼块得到曲面S。但是现在对于每个拼块我们需要远比数对（x，y）或（X，Y）多得多的坐标。事实上每个拼块上有n个坐标，这里n是M的维数（取正整数）。基于这个原因，我们不再用各个不同的字母而是用（上）数字指标来区分不同的坐标

x1，x2，…，xn。

这里别犯糊涂。这些不是x的不同幂，而是各个独立的实数。读者兴许会感到迷惑，我是不是刻意要故弄玄虚，为什么不用下指标（例如x1，x2，…，xn）而非要用上指标呢？这很容易造成诸如坐标x3和量x的3次方之间的混乱。这里犯晕的读者的确无辜，我自己就认为它不仅容易让人糊涂，偶尔甚至非常令人不快。但出于历史原因，经典张量分析（在本章后面部分我们会有更严谨的描述）的标准惯例一直就是如此。这些惯例牵涉到上下指标位置使用的严格规则，其中用于标示坐标的指标恰好就是放在上角位置。（这些规则在使用中非常有效，遗憾的是它没为坐标选择下指标约定，恐怕我们只能这么将就了。）

怎么来刻画流形M呢？我们将它看作是许多坐标拼块的“粘合”。这里每个拼块都是Rn的一个开区域，Rn代表“坐标空间”，其中的点是n元组实数（x1，x2，…，xn），大家一定还记得（§6.1）R代表的是实数系。在粘合过程中，我们有所谓转移函数，它将某个拼块的坐标表示为其他拼块坐标的函数。坐标拼块之间的重叠可以在流形M的任何地方找到。这些转移函数必须满足一些约束条件以保证整个粘合过程的协调性。粘合过程如图12.5（a）所示。为了生成标准流形，[4]即所谓豪斯道夫空间，我们得格外小心。（非豪斯道夫流形可以是“分支”，如图12.5（b）和图8.2（c）所示。）豪斯道夫空间有明确的属性：对空间上两个相异的点，存在包含每一点的开集，这些开集彼此不相交（图12.5c）。

必须明确，得到流形并不意味着就“知道”它的各个拼块，或“知道”其中某个点的具体坐标值。看待流形M的正确方法是，它可以通过拼接坐标拼块的方式建立起来，但之后我们得“忘却”这种拼接的具体过程。流形有它自己的数学结构，坐标只是辅助性的，可以按我们需要的方式重新引入。在这里介绍流形严格的数学定义（有多种表述方式）只会分散我们的注意力。[5]

图12.5 （a）在每个三重叠合区域上，表示重叠坐标拼块的坐标平移的转移函数必须满足一种协调关系。（b）各对拼块之间的（开集）重叠区域必须适当，否则就可能出现具有非豪斯道夫空间特征的“分支”。（c）豪斯道夫空间具有这样一种性质：空间上相异的两点各有彼此不重叠的邻域。（在（b）中，为使“粘合”部分是开集，其“边界”（即出现分支的地方）必然处于分离状态，正是在这个地方豪斯道夫条件得不到满足。）