第十二章 n维流形

12.1 为什么要研究高维流形？

现在我们来研究建立高维流形的一般程序，这里维数n可以是任意正整数（甚至可以为零，如果我们将单点视为零维流形的话）。对几乎所有现代物理基本理论而言，流形都是一种最基本的概念。读者或许奇怪，既然日常时空只有四维，物理上为什么会对n维（n＞4）流形如此感兴趣。事实上，许多现代理论，像弦论，都是在维数远大于4的高维“时空”里进行研究的。不久我们就会接触到这类问题（§15.1，§§31.4，10－12，14－17），我们将考察这一概念在物理上应用的可行性。即使暂不考虑n维流形是否真正适用于描述实际“时空”这个问题，物理上也还有其他一些截然不同但却十分令人信服的理由来说明流形应用的必要性。

图12.1 构形空间C，其中的每一点代表刚体在三维欧几里得空间E3中的一种可能定位：C是六维非欧几里得流形。

例如，在三维欧几里得空间里，普通刚体的构形空间（以后我们称其为空间C）就是六维非欧几里得流形（见图12.1）。所谓构形空间是指由刚体不同的物理定位的代表点构成的空间。它有6个维是因为我们需要有3个维（自由度）来确定该刚体的力心位置，另3个维用来确定刚体的转动取向。*〔12.1〕那它为什么一定是非欧几里得的呢？这有许多理由，其中一个特别明显的理由是它的拓扑不同于六维欧几里得空间下的拓扑。C的这种“非平凡拓扑性质”在三维空间的直接表现就是刚体的转动取向。我们把这种三维空间称为R。R的每一点代表刚体的一种转动取向。读者一定还记得我们在前一章描述过的书的转动，这里我们仍取书作为刚体的直观表达（当然书不得打开，否则相应于书页的翻动，其构形空间就得有更多的维度）。

那么怎么来认识这种“非平凡拓扑性质”呢？可以想象，这不是一个简单的三维或六维流形问题，但我们有一些数学规则来判定这种性质。还记得§8.4里我们对黎曼曲面的考察吧（图8.9），在那里我们考察过几种不同的非平凡的二维曲面，除了黎曼球面之外，最简单的曲面是环面（亏格为1的曲面）。我们如何来辨别环面与球面之间的不同呢？方法之一是考察曲面上的闭合曲线。可以非常直观地看出，如果我们围绕环面画出一些闭合的圈，那么这些圈是无法通过连续变形收缩到零（某个单点）的；而球面上的每个闭合圈则总能够按此方式收缩到零（图12.2）。欧几里得平面上的闭合圈也可以收缩到零，因此我们说球面和平面在“可缩性”这一点上是单连通的，而环面（和高亏格曲面）则由于存在不可缩的圈因而是多连通的。[1]由此，我们从曲面本身得到一种区分环面（和高亏格曲面）与球面（和平面）的方法。

图12.2 环面上的一些圈无法在环表面连续收缩到零（某个点），而在平面或球面上，每个闭合圈则总能够收缩到零。相应地，我们称平面和球面是单连通的，而环面（和高环柄数曲面）则是多连通的。

我们可用上述办法来区分三维流形R的拓扑与平凡的三维欧几里得拓扑，也可以用来区分六维流形C拓扑与平凡的六维欧几里得空间。我们不妨再回到§11.3里那本拖着条纸带的“书”上。书的每一次转动造成的书面法线取向可由R上一点来表示。如果我们连续将书转过2π，则书面法线回到原初的取向。我们可将这整个变动结果想象为R内的某个闭合圈（图12.3）。那么能否将这一闭曲线连续地收缩到零（某个单点）呢？圈的形变相当于书本转动时书面法线的逐渐变化，直到它停止转动为止。但不要忘记，我们还有一条拖着的纸带。2π转动造成的纸带扭曲，是无法在书不动的条件下仅通过纸带本身的连续变动来解开的，而且在书的2π转动过程中，这种扭曲（或变换成奇数倍2π的扭曲）将始终存在。因此可以得出结论，2π转动不可能通过实际的连续变形完全回复到非转动状态，相应地，我们也不可能在R上找到一个可连续收缩到零的闭合圈。三维流形R（类似地，六维流形C）必是多连通的，因此拓扑上它们不同于单连通的三维欧几里得空间（或六维欧几里得空间）。[2]

图12.3 如图12.2所示的多连通概念可将三维流形R（转动空间）拓扑或六维流形C（构形空间）拓扑与“平凡的”三维欧几里得空间拓扑和六维欧几里得空间拓扑区分开。R或C上表示2π连续转动的圈不能收缩到一点，故R或C是多连通的。但当圈横穿过两次（表示4π转动）后，这个圈就可缩为一点（拓扑挠性）。

需要指出的是，R和C的多连通性是一种比环面的多连通性更有趣的性质。这是因为代表2π转动的闭合圈有一种奇妙性质：如果这个圈再绕一次（4π转动）的话，我们会得到一条可连续变形到一点的闭合圈***〔12.2〕。（这在环面上是不可能发生的。）R和C中闭合圈的这种奇妙性质是所谓拓扑挠性的一个例子。

从这个例子中我们可以看到，正是物理上对空间（如六维流形C）的兴趣才使得研究不仅突破了普通时空维数的限制，而且推进到非平凡拓扑领域。实际上，对于涉及大量独立粒子的体系而言，这种与物理有关的空间维数将远大于6，多维空间不仅以构形空间形式出现，而且还以相空间形式出现。在气体的构形空间K里，气体分子被描述成三维空间里的单个质点，故K有3N维，这里N是气体中的分子数。K的每一点代表一种气体构形，其中每个分子的位置是独立确定的（图12.4（a））。在气体的相空间P里，我们还必须跟踪每个分子的动量（分子的质量乘以速度）变化。动量是一个矢量（有3个分量），因此总维数是6N。这样，P的每一点不仅代表所有气体分子的位置，而且还代表着每个独立粒子的运动（图12.4（b））。

图12.4 （a）三维空间的某个区域中n个点粒子系统的构形空间K。它有3n维，K的每一点代表所有n个粒子的一种定位。（b）相空间P有6n维，P的每一点代表所有n个粒子的定位和动量。

即使是一点点空气，也含有1019个分子，[3]故P有差不多60 000 000 000 000 000 000维！在研究涉及大量粒子的（经典）物理系统的行为方面，相空间特别有用。