11.3 四元数几何

将四元数的基本量i，j和k视为普通欧几里得三维空间里的3个相互垂直（右手系）轴（如图11.1）。现在我们回顾一下，在§5.1里，普通复数理论里的量i可按运算“乘以i”来理解。在复平面上，这一运算相当于“以原点为轴按正方向（逆时针）转过一直角”。现在我们将这一理解扩展到四元数上去，将“乘以i”想象为是在三维空间里以i轴为轴（因此（j，k）平面相当于复平面）按正方向（逆时针）转过一直角。同样，我们可将乘以j理解为绕j轴（按正方向）转过一直角，乘以k理解为绕k轴转过一直角。但如果这些旋转都是像复数情形下的直角旋转，则乘积关系将失效，因为如果在绕i轴转动后跟着就绕j轴转，其结果并不等于我们期望得到的绕k轴转动的结果。

图11.1 基本四元数i，j，k表示为普通欧几里得三维空间的3个（构成右手系的）相互垂直的轴。

图11.2 我们可将四元数算子i，j，k表示为某个物体（这里取为一本书）的转动（转过180°即π）。

取一个日常物品然后转动它，我们很容易看清楚这一点。我建议大家用一本书来进行。将合上的书平放在你面前的水平桌面上，将k轴想象为垂直指向上方，i轴指向书的右侧，j轴指向你的正前方，三轴均过书的中心。如果我们将书先绕i轴按正方向转过一直角，再绕j轴按正方向转过一直角，就会发现书最终处于书脊朝上的状态，这种状态是无法通过单独绕k轴转动来恢复到原初状态的（图11.2）。

要使得上述两种转法产生相同结果，我们必须每次转过两个直角（180°或π），这似乎很奇怪，因为它肯定不是按我们对复数i作用理解的方式的直接类比。麻烦主要是，如果我们对一个轴连续两次运用这一运算，我们转过的是360°（或2π），实际上就是简单地将物体恢复到原状态，显然这相当于i2=1而不是i2=－1。但正是这种地方出现了神奇的新概念。这是一种相当微妙且十分重要的思想，从中我们可以看到这种数学对于描述像电子、质子和中子等基本粒子的量子物理来说是多么重要。正如我们将在§23.7里看到的那样，如果没有这种作用，普通的固态物质就不可能存在，这一数学基本概念就是旋量（spinor）概念。[8]

那么什么是旋量呢？本质上说，它是这样一种对象，当它经历过2π角转动后，正好处于初态的相反态。这似乎有点荒谬，因为按照我们的日常经验，物体经过这种转动后总是回到初态，而不是其他状态。为了理解旋量的这种古怪性质——我指的是自旋体的性质——我们且回到前述的书上。我们得有一种办法来监测书是怎么转动的：将长纸带的一端紧夹于书页里，另一端紧固于某个固件（譬如桌子一堆书下，如图11.3（a））。书绕过自身的轴转过2π角，使得纸带也跟着扭转。这种扭曲状态在书不作进一步转动情形下是无法恢复原状的（图11.3（b））。但如果将书再转一周，即总共转过4π角，这时我们会惊奇地发现，纸带的扭转状态可以通过下述方式完全去掉：保持书的位置不动，将纸带套过书一圈（图11.3（c））。这说明，纸带保持书转过的2π转动次数的奇偶性不变，而不是全部转动次数的累加。也就是说，如果我们将纸带转过偶数次2π角，则纸带的扭曲状态可完全消除；而如果纸带转过的是奇数次2π角，那么纸带会一直保持扭曲状态。纸带的这种特性对任一转轴、或对不同转轴的连续操作都成立。

图11.3 由图11.2里的书代表的自旋体。书的偶数次2π转动相当于不转动，而奇数次2π转动则不然。（a）用一端固着于桌上一堆书下、另一端夹于转动的书内的长纸带来跟踪书的2π转动次数的奇偶性。（b）书的2π转动使得纸带扭转，如果书不作进一步转动，纸带的这种扭转无法恢复。（c）书的4π转动造成的纸带扭转可通过将纸带套过书一圈来完全去掉。

因此，为了刻画这种自旋体，我们可以想象空间有这么一个常见物体，它带着一副足够柔软的附件。这个附件可由前述的纸带来代表，它可以以任何连续方式活动，但其两端必须保持固定，一端固着于自旋体上，另一端固定在外结构上。按这种设想，我们的拖着一条纸带的“自旋书”就是这么一种位形，纸带的另一端固定于外结构上。只有当纸带可经过连续变形到书的另一种位形下的纸带状态时，我们才认为自旋书的前后两种位形是等价的。就每一本普通书的位形而言，都确切存在两种不等价的自旋书位形，其中一种是另一种的相反态。

我们来考察如果将这种设想用到四元数上能否得到各种正确的乘法律。将书置于你面前的桌上，纸带紧夹于书页间。然后使书对i轴转动书至π角，接着再绕j轴转过π角，如所预料，我们得到的书的位形等价于书绕k轴转过π角的位形，这与哈密顿的ij=k完全一致。

这里有一点不能令人满意的地方。如果我们坚持所有转动都按右手规则进行，那么通过适当跟踪纸带的扭转轨迹，我们会发现得到的却是ij=－k。这一点不是很重要，我们可以通过采用多种方式来改正它。例如我们可以用左手定则（即顺时针）转过2π而不是按右手定则来代表四元数（此时我们回到“ij=k”），也可以将i，j，k轴的正方向定为顺时针而不是逆时针方向。当然最好还是采用一种新的乘法运算顺序的约定，即“乘积pq”代表的是先行q运算再行p运算，而不是先p后q的顺序。

实际上，对这种看似古怪的约定可以有一个好的理由来说明，这得涉及算子——例如微商算子∂/∂x——通常我们都将其理解为作用到它右边的量，因此算子P作用到Φ上通常写成P（Φ），或简写成PΦ。相应地，如果我们先行P作用再行Q作用到Φ上，我们总写成Q（P（Φ）），或简为QPΦ，也就是QP作用到Φ。

我自己采用的解决这种讨厌的四元数符号问题的办法还是取标准的右手定则，对算子作用顺序也还是采用“通常的”倒序约定。对读者来说，这很简单，所有哈密顿的“布鲁厄姆桥”方程i2=j2=k2=ijk=－1都满足“自旋书”特性。我们要记住的是，ijk现在表示的是“先k后j再i”的作用顺序。[9]