注释

§10.2

[10.1]多变量可微性的详细讨论见Marsden and Tromba（1996）。

§10.3

[10.2]虽然（17世纪后半叶）莱布尼兹最初引入的“dx”显示出巨大的力量和灵活性，例如它可以将自身右边的量处理成代数量，但对二阶导数，这种处理没有扩展到记号“d2x”。如果他当时对这种记号做出调整，将y关于x的二阶导数写成（d2y－d2x dy/dx）/dx2，那么量“d2x”的确是一种代数上相容的量（这里“dx2”表示dxdx，等等）。但由于这种表达式的复杂性，还不清楚实际上如何做到这一点。

[10.3]“第一基本困惑”涉及§10.2中f和Φ的使用，特别是在取偏导数时。见Woodhouse（1987）。

§10.5

[10.4]我们必须将这个条件看成是仅针对局部意义上的条件。例如，我们有定义在（u，v）平面腰果状区域上的光滑函数Φ（u，v），在该区域内，∂Φ/∂v=0，但作为u的函数，Φ并不是完全相容的。***〔10.15〕

[10.5]虽然这不是柯西－黎曼方程的极其严格的论证，但它提供了取这种形式的基本理由。

[10.6]实际上，早在柯西或黎曼之前的1752年，达朗贝尔（Jean LeRond D'Alembert，1717－1783）就发现了这些方程（见Struik 1954，219页）。

[10.7]魏尔斯特拉斯（1866年）根据自由全纯函数发现，实际的肥皂液膜方程（拉普拉斯方程是对它的一个近似）有一个绝好的一般解。

[10.8]因为f在圆上连续，它必是有界的（即它的值处于固定的最小值和最大值之间）。由标准定理可知，这个圆是一个紧空间。（“紧”的概念见§12.6，Kahn 1995；Frankel 2001）。于是我们可以重新标定f（将它乘以一个小的常数ε），这样上下界就都变小了。肥皂液膜的类比为将εf的存在性扩展到圆内提供了合理的解释，它满足拉普拉斯方程。当然这不是证明，这种所谓“圆盘上的狄利克雷问题”的严格证明见Strauss（1992）或Brown and Churchill（2004）。

**〔10.1〕解释为什么减法和除法运算可以从中推出。

**〔10.2〕导出这两个式子。

***〔10.3〕分别在N=2，1，三种情形下考虑实函数f（x，y）=xy（x2+y2）－N。证明：在每一种情形下，对于固定的y值，函数都是关于x可微（Cω）的（对调x和y，结论相同）。尽管如此，f不是坐标对（x，y）的光滑函数。对三种不同的情形，利用不同的函数来证明这个判断：对N=2的情形，说明该函数在原点（0，0）的邻域内甚至是无界的（即函数在此可以取任意大的值）；对N=1的情形，说明该函数尽管是（x，y）的有界函数但是不连续；对N=的情形，说明函数尽管连续，但沿x=y不光滑。（提示：检验每个函数沿过（x，y）平面上原点的直线的值。）有些读者可能会发现，用适当的计算机三维作图软件很容易搞定这些事情，如果条件容许的话——但这绝不是必需的。

**〔10.4〕证明：混合二阶导数∂2f/∂y∂x和∂2f/∂x∂y总是相等的，如果f（x，y）是一多项式的话。（x和y的多项式是由x、y和常数仅用加法和乘法构建起来的式子。）

***〔10.5〕证明：函数f=xy（x2－y2）/（x2+y2）的混合二阶导数在原点相等。直接说明该函数的二阶偏导数在原点处不连续。

*〔10.6〕对f（x，y）=x3－y3找出F（X，Y）的显形式，这里X=x－y，Y=xy，提示：x2+xy+y2用X，Y来表达是怎样的？这与f有什么关系？

**〔10.7〕根据a和b找出A和B；通过类比，根据A和B写出a和b。

*〔10.8〕推导这个公式。提示：你可将“链式法则”用到∂/∂X和∂/∂Y上，它们可严格类比于我们早先所示的∂/∂x的表达式。

*〔10.9〕用我们早先给出的“链式法则”导出这个显性公式。

**〔10.10〕用三种不同的观点解释这一点：（a）从一般原理出发的直觉观点（怎么才能出现？），（b）用§8.2所述的全纯映射几何，（c）用链式法则和我们下述的柯西－黎曼方程。

**〔10.11〕导出该式。

***〔10.12〕从导数的定义出发，给出柯西－黎曼方程的一种更直接的推导。

*〔10.13〕证明这一点。

**〔10.14〕证明这一点。

***〔10.15〕针对Φ（u，v）=θ（v）h（u）的情形解释这一点，这里函数θ和h的定义均如§§6.1，3所示。腰果状区域必须不包括非负u轴。