10.3 矢量场和1形式

存在一种独立于坐标选择的函数“导数”概念。对于定义在S上的函数Φ来说，这个导数的标准记号为dΦ，这里

由此开始我们进入某些复杂主题的讨论，我们得花些功夫来适应这些描述。首先，像“dΦ”或“dx”这样的量最初都看作是“无穷小”量，它们出现在我们利用微积分里的导数“dy/dx”公式求极限的运算中（见§6.2）。在§6.5的某些表达式中，我曾考虑过诸如d（logx）=dx/x这样的运算。当时这些公式都被看成仅仅是形式上的，[2]像上面这个式子（d（logx）=dx/x）就被认为是“更正确的”表达式d（logx）/dx=1/x的一种方便的写法（“两边乘以dx”）。但另一方面，当我将“dΦ”写进上述公式中时，我是指它是某种称为1形式（虽然这还不是1形式的最一般的形式，见§10.4和§12.6）的几何量，这一点对像d（logx）=dx/x这样的式子同样有效。1形式不是“无穷小”；它有稍许不同的解释，这种重要的解释已经存在了很多年，我一会儿就会谈到它。尽管对“d”的解释前后差异很大，但数学表达式的形式（像§6.5中所列的那些）——只要等号两边不除以dx——则完全不变。

上面所示的公式里还存在着另一种潜在的混淆，它出现在如下情形中：我们在等号左边用Φ，而在右边用f。我提及这一点主要还是出于区分Φ与f的考虑。量Φ是定义域在流形S上的函数，而f的定义域则是某个特定坐标拼块的（x，y）平面上的某个（开）区域。如果我要用“关于x的偏导数”的概念，那么我就需要知道“保持另一个变量y不变”是指什么。正是因为这一点，因此f而不是Φ，总是用在右边，因为f“知道”x和y坐标是指什么，而Φ则不知道这些。但即使如此，以这种方式显示的公式也还存在着弄混的可能，因为这里没涉及函数的自变量。我们将左边的Φ用于二维流形S的特定点p，而将f用于p点的特定坐标值（x，y）。严格来说，为了使表达式有意义，我们必须用显式来给出。但老这么说也惹人烦，最方便的是写成如下形式：

或写成“非实体”的算符形式：

我试着来解释它们的意义。这些公式是所谓链式法则的例子。如前所述，当Φ是定义在S上的某个函数时，它们具有类似于“∂Φ/∂x”的意义。

我们怎么来理解像∂/∂x这样的算符能够应用于定义在S上的Φ函数，而不只是应用于变量x和y的函数这样的事情呢？让我们先来看看，当我们将∂/∂x应用于另一坐标系（X，Y）时，它有什么意义。“链式法则”的适当公式现在变成

因此，在（X，Y）坐标系下，我们有看上去更复杂的表达式（∂X/∂x）∂/∂X+（∂Y/∂x）∂/∂Y，它与（x，y）坐标系下看起来简单的表达式∂/∂x表示的是完全同样的运算。这个更复杂的表达式可以写成如下形式的一个量ξ，

这里A和B都是X和Y的（C∞）光滑函数。在眼下用ξ表示（x，y）坐标系下∂/∂x的特定情形，我们有A=∂X/∂x和B=∂Y/∂x。但我们可以考虑更一般的A和B不取具体形式的量ξ。这种量ξ称为S上的矢量场（在（X，Y）坐标拼块下）。我们重写原始坐标系（x，y）下的ξ，发现它和（X，Y）坐标系下的具有相同的一般形式：

（虽然函数a和b一般不同于A和B）。**〔10.7〕这使我们能够将矢量场从（X，Y）拼块扩展到重叠的（x，y）拼块。通过这种方式，取足够多的所需的拼块，我们就能将矢量场ξ扩充到整个S上。

所有这些可能会使读者感到非常困惑！当然我的目的不是要让你看不懂，而是要找到非常基本的正确的几何概念的解析形式。我们称为“矢量场”的微分算符ξ有一个非常明确的如图10.5所示的几何解释。我们将ξ想象为描述了一个画在S上的“小箭头场”，虽然在S的某些地方，箭头可能会收缩成一点，ξ在这些地方取值为零。（为了得到更鲜明的矢量场图像，我们可以将其想象成电视上天气预报节目里的风向图。）箭头所指的方向代表着ξ的微商这个函数的增长方向。我们将这个函数取为Φ，ξ对Φ的作用，即ξ（Φ）=a∂Φ/∂x+b∂Φ/∂y，量度Φ沿箭头方向的增长率，见图10.6。箭头的大小（长度）具有根据所测得的增长率来确定“尺度”的意义。更恰当地说，我们应当把所有箭头都当作无穷小，每一个都将S上的一点p（处于箭“尾”）与“相邻的”S上的另一点p′（处于箭“头”）连接起来。为了看得更清楚点，让我们取某个小的正数ε作为两分离点p和p′之间沿ξ方向分离程度的量度。于是，差Φ（p′）－Φ（p）除以ε给出量ξ（Φ）的近似值。ε取得越小，近似程度就越好。最后，当p′无限趋近p（即ε→0）时，我们就得到了实际的ξ（Φ）。有时我们也称其为Φ在ξ方向上的梯度（或斜率）。

在矢量场∂/∂x这一特定情形，箭头全都指向常量y的坐标线方向。这就形象地说明了经常引起困扰的对偏导数“∂/∂x”这一标准数学概念的理解问题。我们可能一直认为表达式“∂/∂x”主要涉及的是量x。但其实它更多的则是与未经言明的变量相联系，在此即为变量y而不是x。当我们考虑坐标变换时，譬如说从（x，y）到（X，Y）且使一个坐标维持不变，这个记号特别容易引起误解。例如，考虑如下这个非常简单的坐标变换

X=x，Y=y+x。

我们发现*〔10.8〕

我们看到，∂/∂X不等同于∂/∂x，尽管事实上X等同于x——反之，在这个例子中，∂/∂Y则等同于∂/∂y，尽管Y并不等同于y。这种情形就是我的同事尼克·伍德豪斯（Nick Woodhouse）所说的“微积分第二基本困惑”！[3]另一方面，为什么∂/∂X≠∂/∂x，这在几何上很清楚，因为相应的“箭头”指向不同的坐标线（图10.7）。

现在我们来解释量dΦ。它称为Φ的梯度（或外导数），表示Φ沿S的所有可能方向如何变化。dΦ的一种好的几何图像是借助于S的等高线系，见图10.8（a）。我们将S视为一幅普通的地图（这里“map”一词是指你旅行时随身携带的纸质地图，不是数学概念“映射”），它可以是球状的，如果我们打算将S看成是弯曲的流形的话。函数Φ可以代表海拔高度。这样dΦ就代表了地面相对于水平面的坡度。等高线标出的是所有海拔高度相同的位置。在S的任意一点p上，等高线的周线方向给出梯度为零的方向（地表坡度的“斜轴”），因此它是p点处满足ξ（Φ）=0的箭头ξ所指的方向。当我们顺着等高线行走时，我们既不爬坡也不下坡。但如果我们横越等高线，那么就存在Φ的增长，其上升率，即ξ（Φ），可通过等高线沿该方向的拥挤程度来量度，见图10.8（b）。