9.2 圆上的函数

洛朗级数确实为我们提供了一种傅里叶级数的简洁的表达式。但这种表达式隐含着关于傅里叶分解的另一种有趣的观点。由于周期函数可无穷次地重复出现，因此我们可认为这种（实变量χ的）函数是定义在圆上的（图9.3），这里函数的周期l就是圆的周长，χ量度绕过圆的弧长。这些弧长不是直线，而是绕圆进行，因此周期性自动包含其中。

出于方便起见（至少在时间上作如此考虑），我们把这个圆取为复平面上的单位圆，其周长为2π，也就是说，周期l是2π。相应地，

ω=1，故z=eiχ。

（对其他的周期值，我们只需适当重定标变量χ来重申ω。）由傅里叶分解的各个“纯基音”表示的不同的cos和sin项，现在可简单地表示为z的正或负次幂，即第n阶谐波的z±n。在单位圆上，这些幂恰好给出我们所需的cos和sin振荡项，见图9.4。

现在我们有了非常简练的表达周期函数f（χ）的傅里叶分解的方法。我们把f（χ）=F（z）看成是定义在z平面的单位圆上，这里z=eiχ，于是傅里叶分解正好是这个函数在复参数z下的洛朗级数表示。但好处还不仅限于简练。这种表示还提供了对傅里叶级数性质及其所表示的函数性质的更深刻的认识。从本书的最终目的来说，更紧要的是它与量子力学有着重要联系，因此有助于加深我们对大自然的理解。这一切还反映了复数的神奇性，因为当z越出单位圆时我们仍能够用洛朗级数表达式。业已证明，对z处于单位圆上的情形，这个级数会依据z在单位圆外时级数的性态来告诉我们某些关于F（z）的重要信息。

现在，让我们（从§4.4）回顾一下收敛圆的概念，就是说，在这个圆内幂级数收敛，而在圆外幂级数发散。洛朗级数也有非常类似的对应概念：收敛圆环。这是复平面上严格处于两个以原点为圆心的同心圆之间的区域（图9.5（a））。一旦我们有了通常幂级数的收敛圆的概念，对此很容易理解。具有正幂的级数部分[3]

F－=α1z1+α2z2+α3z3+…

有普通的收敛圆，其半径譬如说为A，对所有其模小于A的z值，级数收敛。而对于具有负幂的级数部分，即

F+=…+α－3z－3+α－2z－2+α－1z－1，

我们将其理解为倒参数w=1/z的普通幂级数。它在w平面内有譬如说其半径为1/B的收敛圆，对所有其模小于1/B的w值，级数收敛。（我们这里讨论的实际上是第8章所述的黎曼球面——见图8.7，z坐标对应于一个半球，w坐标对应于另一个半球，见图9.5（b）。下一节我们再探讨这种黎曼球面的特性。）因此，对于其模大于B的z值，级数的负幂部分将收敛。只要B＜A，这两个收敛区域就将重叠，于是我们得到整个洛朗级数的收敛圆环。注意，函数f（χ）=F（eiχ）=F（z）的整个傅里叶级数或洛朗级数是由

F（z）=F++α0+F－

给定的，这里必须包括附加的常数项α0。

在目前情形，我们要求的是在单位圆上收敛，因为正是在此我们才有z=eiχ（对实数χ），当z处在单位圆上时，f（χ）的傅里叶级数收敛问题其实就是F（z）的洛朗级数的收敛问题。因此，我们似乎需要B＜1＜A来保证单位圆确实处于收敛圆环之内。对傅里叶级数的收敛性而言，这是否意味着我们必须要求单位圆处于收敛圆环之内？

如果f（χ）是解析的（即Cω），情形确实如此。于是函数f（χ）可扩展为函数F（z），它在包括单位圆的某个开区域上是全纯的。[4]但如果f（χ）不是解析的，那么就会出现一种有趣的情形。在这种情形下，要么收敛圆环收缩变成单位圆本身——严格说来，对真正的收敛圆环这是不容许的，因为收敛圆环必须是开区域，而单位圆则不是——要么单位圆变成收敛圆环的外边界或内边界。这些问题在§§9.6，7会变得很重要。

眼下，我们先考虑f（χ）不是解析的会发生什么情况，并考虑f（χ）为解析时的较简单情形。然后我们有z平面内严格处于F（z）的真正收敛圆环内的单位圆，它由（以原点为圆心）半径A和B的圆界定（B＜1＜A）。洛朗级数的正幂部分F－收敛到z平面内其模小于A的那些点；负幂部分F+则收敛到z平面内其模大于B的那些点。因此，二者都收敛到收敛圆环本身之内（在非常平凡的意义上，常数项α0显然对所有z均“收敛”）。这使我们看到，F（z）“劈裂”为两部分，一部分全纯成分处于外圆之内，另一部分全纯成分处于内圆之外，它们分别定义为级数表达式F－和F+。

关于常数项α0是否包含于F－或F+内这一点还有些模糊之处。实际上，存留这点模糊或许更好。因为F－和F+之间存在对称性，如果我们采用黎曼球面的图像，这点会变得更清楚（图9.5b）。它使我们有了一种更完整的图像，下面让我们来探讨这一问题。