6.2 函数的斜率

如上所述，微分运算包括求“斜率”。从图6.2a所示的｜x｜的图像我们清楚地看到，函数在原点的斜率不唯一，因为这里有个折角。但除原点之外，在其他地方斜率是唯一确定的。｜x｜在原点处的这种麻烦被称为｜x｜在原点处不可微，换一种等价的说法，就是函数在此处不光滑。相反，如图6.2（b）所示的函数x2则是处处都有唯一定义的斜率，它因此也是处处可微的。

图6.2（c）所示的函数θ（x）比｜x｜更麻烦，因为θ（x）在原点（x=0）处有一“跳跃”。这时我们说θ（x）在原点不连续。相比之下，函数x2和｜x｜则是处处连续的。｜x｜在原点处的麻烦不是连续性失效而是可微性失效。（虽然连续性失效和可微性失效不是一回事，但二者实际上是彼此相关的概念，这一点我们一会儿就要谈到。）

图6.3 （a）x3和（b）x｜x｜（即如果x≥0，则x2；如果x＜0，则－x2）的图像。

可以想象，这两种缺失哪一种都不会令欧拉高兴，它们似乎正是｜x｜和θ（x）不能成为“真”函数的理由。现在我们来考虑图6.3所示的两个函数。第一个是x3，它在任何意义下都称得上是函数；而第二个是x｜x｜，它在x非负区域的图像与x2相同，但在x为负的区域相当于－x2吗？乍一看，两个图像彼此非常相像且肯定“光滑”。二者不仅在原点的“斜率”有绝对完好的值，即都是零（这意味着曲线在此处有水平的斜率），而且在最直接的意义上也是处处“可微”的。但是，x｜x｜肯定不是令欧拉满意的那种“漂亮”函数。

x｜x｜的“错误”在于它在原点没有定义完好的曲率，曲率的概念也涉及微分计算。实际上，“曲率”是一种与所谓“二次导数”有关的运算，就是说要做两次微分。因此我们可以说，函数x｜x｜在原点不是二次可微的。我们将在§6.3来考虑二次和更高次导数。

图6.4 笛卡儿坐标系下的（a）y=f（x），（b）一阶导数u=f′（x）（=dy/dx）和（c）二阶导数f″（x）=d2y/dx2的图像。（注意，f（x）在f′（x）与x轴相交的地方有水平斜率，而在f″（x）与x轴相交的地方有拐点。）

为了开始正确理解这些事情，我们有必要看看微分运算实际是如何进行的。为此我们得知道如何来量度斜率。如图6.4所示，我画了一条比较有代表性的函数图像f（x）。图6.4（a）的曲线描述的是关系y=f（x）。正如通常笛卡儿坐标描述的那样，这里坐标y的值量度的是高度，x值量度的是水平位移。我曾说过，曲线在某一点p处的斜率就是该点的y坐标的增量除以x坐标的增量，相当于我们在p点作曲线的切线。（“切线”的数学定义取决于适当的求极限过程，但这不是我在这里要达到的目的。我希望读者能够明白我的这种直观描述足以满足我们当前的需要。[3]）斜率的标准记法是dy/dx（读成“dy比dx”）。我们可将“dy”看成是y值沿曲线的一个非常小的增量，“dx”为相应的x值的小的增量。（这里，技术上严格说来都要求取“极限”，即是说这些小量应尽量减小到零。）

现在我们来考虑另一种曲线，即前述曲线上每一点p的斜率值关于x的曲线，见图6.4（b）。这里我们再次用笛卡儿表示法，但垂直轴表示的是dy/dx而非y。水平移位则仍由x量度。画出的这个函数通常称为f′（x），也可以写成dy/dx=f′（x）。我们把dy/dx称作y关于x的导数，把f′（x）称作f（x）的导数。[4]