5.4 复数幂

现在让我们回到定义wz（或如前面写的bz）的问题上来。我们可将它写成

wz=ez log w

（因为我们有ez log w=（elog w）z和elog w=w）。同时我们注意到，由于log w的多值性，我们可以增加任意整数倍的2πi到log w上来得到另一个容许的答案。这意味着我们可以用ez·2πi的任意整数倍来乘或除wz的一个特定值，得到的还是这个“wz”。看看一般情形下由此给出的复平面上点的分布（见图5.9）亦为快事。这些点就是两等角螺线交点。（等角螺线——或称为对数螺线——是一种与所有过极点的射线的交角都相等的平面曲线。）***〔5.9〕

图5.9 不同的wz（=ez log w）值。任意整数倍的2πi可加到log w上以得到另一个容许值，这意味着我们可以用ez 2πi的任意整数倍来乘或除wz得到的还是这个“wz”。在一般情形下，这些数表现为复平面上两等角螺线的交点（等角螺线是一种与所有过极点的射线的交角都相等的平面曲线）。

如果我们不注意，这种不确定性会给我们带来各种麻烦。**〔5.10〕避免这些麻烦的最好方法就是采用如下规则：记号wz只用于log w的特定选择已明确了的情形。（对ez这一特殊情形，默认的约定为log e=1。于是标准记号ez与更为一般的wz相一致。）一旦log w的这种选择得到具体化，则wz对所有z有无歧义的定义。

这里还要说上几句。如果要定义“以b为底的对数”（记为“logb”的函数），我们还得对log b做出规定，因为我们需要用w=bz来定义z=logbw。即使如此，logbw仍是多值的（log w也如此），我们可以将2πi/log b的任意整数倍加到logbw上。*〔5.11〕

在过去曾使一些数学家中计的一个奇思怪想是量ii。它曾被认为是“人们能够想象的至高虚幻”。但实际上，通过规定log i=πi，*〔5.12〕我们发现它有实的答案：

如果对log i作其他规定，那么就还存在着其他多种答案。这些答案可通过将上述量乘以e2π n来得到，这里n是任意整数（或等价地，将上述量自乘4n+1次，这里n是整数——正负均可*〔5.13〕）。令人惊奇的是，所有这些ii的值都是实数。

再来看看z=时wz的情形。一定意义上说，我们希望仍能用两个量来表示“w1/2”。实际上，这两个量可以简单地用先规定log w的一个量的值再由此规定另一个的办法来得到。这样处理导致w1/2改变符号（由欧拉公式eπi=－1）。类似地，对于n=3，4，5，…，我们可生成zn=w的所有n个解w1/n，只要log w的依次不同的值都有定义。*〔5.14〕更一般地，现在可以来研究非零复数w的z次根的问题了，这里z是非零复数，我们曾在§4.2回避了这个问题。这个z次根可表示为w1/z，一般来说，我们得到的是无穷多个这样的解，这要看log w的选择是如何规定的。通过正确选定log w1/z，即规定为（log w）/z，我们得到（w1/z）z=w。提醒一句，更一般地，

（wa）b=wab，

一旦我们对（右边的）log w作出了具体规定，（左边的）log wa就具体化为alog w。**〔5.15〕

图5.10 单位圆上均布的单位e2π ri/n（r =1，2，…，n）的n次单位根是正n边形的顶点。这里n=5。

当z=n为正整数时，事情要简单得多，我们恰好得到n个根。此时一个特有意思的情形是w=1。在依次指定log 1的可能值分别等于0，2πi，4πi，6πi，…之后，我们得到11/n的可能值分别为1=e0，e2πi/n，e4πi/n，e6πi/n，…。我们可把它们写为1，ε，ε2，ε3，…，这里ε=e2πi/n。在复平面上，它们是单位圆上均布的n个点，称为n次单位根。这些点是正n边形（图5.10）的顶点。（注意，log 1的－2πi，－4πi，－6πi等的选取同样是n次根，只不过取的是逆序。）

对给定的n，有趣的是，这n次单位根构成所谓有限乘法群，更具体地说，就是循环群Zn（见§13.1）。我们有具有如下性质的n个量：它们中任意两个之积给出其中的第三个量。我们也可以用一个量除以另一个量来得到第三个量。例如，考虑n=3的情形。现在我们有3个元素1，ω和ω2，这里ω=e2πi/3（故ω3=1，ω－1=ω2）。对这些数我们有如下乘法表和除法表：

在复平面上，这些数由等边三角形的顶点来表示。乘以ω相当于使三角形逆时针转过π（即120°），乘以ω2相当于使三角形顺时针转过π；至于除法，转动方向正好相反（见图5.11）。

图5.11 单位三次根1，ω和ω2构成的等边三角形。乘以ω相当于使三角形逆时针转过120°，乘以ω2则使三角形顺时针转过120°。